Номер 760, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

760. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места:

а) 2 фотографии;

б) 4 фотографии;

в) 6 фотографий?

Данная задача решается с использованием формул комбинаторики. Так как порядок расположения фотографий на странице важен (фотографии и места на странице различны), мы будем использовать формулу для нахождения числа размещений. Размещение — это комбинаторная конфигурация, в которой важен порядок элементов.

Число способов разместить k различных объектов по n различным местам (число размещений из n по k) обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашей задаче общее количество свободных мест для фотографий n = 6.

а) 2 фотографии

Нужно найти, сколькими способами можно разместить k = 2 фотографии на n = 6 местах.
Можно рассуждать логически: для первой фотографии есть 6 вариантов выбора места. После того как место для первой фотографии выбрано, для второй остается 5 свободных мест. Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждой фотографии:
$6 \times 5 = 30$.
Используя формулу для числа размещений, получаем тот же самый результат:
$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 = 30$.
Ответ: 30 способами.

б) 4 фотографии

Здесь необходимо разместить k = 4 фотографии на n = 6 местах.
Рассуждаем последовательно: для первой фотографии — 6 вариантов, для второй — 5, для третьей — 4, а для четвертой — 3. Общее число способов:
$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.
По формуле размещений:
$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
Ответ: 360 способами.

в) 6 фотографий

В этом случае нужно разместить k = 6 фотографий на n = 6 местах. Такая задача сводится к нахождению числа перестановок 6 элементов. Число перестановок из n элементов обозначается $P_n$ и равно $n!$.
$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
Используя формулу размещений, где k = n, мы получаем тот же результат (по определению $0!=1$):
$A_6^6 = \frac{6!}{(6-6)!} = \frac{6!}{0!} = 6! = 720$.
Ответ: 720 способами.