Номер 767, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

767. Найдите значение выражения:

а) $\frac{8!}{6! \cdot 2!}$;

б) $\frac{12!}{9! \cdot 3!}$;

в) $\frac{7! \cdot 5!}{8! \cdot 4!}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{8!}{6! \cdot 2!}$, воспользуемся свойством факториала $n! = (n-k)! \cdot (n-k+1) \cdot \dots \cdot n$. Распишем $8!$ как $6! \cdot 7 \cdot 8$.

$\frac{8!}{6! \cdot 2!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8}{6! \cdot 2!}$

Сократим $6!$ в числителе и знаменателе. Также учтем, что $2! = 2 \cdot 1 = 2$.

$\frac{7 \cdot 8}{2!} = \frac{56}{2} = 28$

Ответ: 28

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{12!}{9! \cdot 3!}$, распишем $12!$ как $9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12$.

$\frac{12!}{9! \cdot 3!} = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{9! \cdot 3!}$

Сократим $9!$ в числителе и знаменателе. Также учтем, что $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

$\frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{6} = 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220$

Ответ: 220

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{7! \cdot 5!}{8! \cdot 4!}$, распишем $8!$ в знаменателе и $5!$ в числителе для удобства сокращения.

$8! = 8 \cdot 7!$

$5! = 5 \cdot 4!$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{7! \cdot 5!}{8! \cdot 4!} = \frac{7! \cdot (5 \cdot 4!)}{(8 \cdot 7!) \cdot 4!}$

Теперь сократим одинаковые множители $7!$ и $4!$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{7!} \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{8 \cdot \cancel{7!} \cdot \cancel{4!}} = \frac{5}{8}$

Ответ: $\frac{5}{8}$