Номер 765, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

765. Решите двойное неравенство:

a) $-2 < \frac{4x - 1}{5} < 2$

б) $0,2 \le \frac{1 - 5x}{20} \le 0,4$

а)

Дано двойное неравенство: $-2 < \frac{4x - 1}{5} < 2$.

Для решения этого неравенства необходимо выполнить такие преобразования, чтобы в центральной части осталась только переменная $x$.

1. Умножим все три части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-2 \cdot 5 < (\frac{4x - 1}{5}) \cdot 5 < 2 \cdot 5$

$-10 < 4x - 1 < 10$

2. Прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от -1 в центральной части:

$-10 + 1 < 4x - 1 + 1 < 10 + 1$

$-9 < 4x < 11$

3. Разделим все части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{-9}{4} < \frac{4x}{4} < \frac{11}{4}$

$-\frac{9}{4} < x < \frac{11}{4}$

Это неравенство можно записать в виде интервала. В десятичных дробях это выглядит так: $-2,25 < x < 2,75$.

Ответ: $(-\frac{9}{4}; \frac{11}{4})$

б)

Дано двойное неравенство: $0,2 \le \frac{1 - 5x}{20} \le 0,4$.

Решим его аналогично предыдущему пункту.

1. Умножим все три части неравенства на 20, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется:

$0,2 \cdot 20 \le (\frac{1 - 5x}{20}) \cdot 20 \le 0,4 \cdot 20$

$4 \le 1 - 5x \le 8$

2. Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$4 - 1 \le 1 - 5x - 1 \le 8 - 1$

$3 \le -5x \le 7$

3. Разделим все части неравенства на -5. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{3}{-5} \ge \frac{-5x}{-5} \ge \frac{7}{-5}$

$-\frac{3}{5} \ge x \ge -\frac{7}{5}$

4. Для удобства восприятия запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-\frac{7}{5} \le x \le -\frac{3}{5}$

Это неравенство можно записать в виде отрезка. В десятичных дробях это выглядит так: $-1,4 \le x \le -0,6$.

Ответ: $[-\frac{7}{5}; -\frac{3}{5}]$