Номер 764, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

764. Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их повторения) различных трёхзначных чисел, которые являются:

a) чётными;

б) кратными 5?

Для решения этой задачи мы будем использовать основное правило комбинаторики — правило произведения. Нам даны цифры 1, 2, 3, 4, 5, из которых нужно составить различные трёхзначные числа без повторения цифр. Это означает, что каждая цифра в числе может быть использована только один раз. Трёхзначное число имеет три разряда: сотни, десятки и единицы.

а) чётными;

Чтобы число было чётным, его последняя цифра (в разряде единиц) должна быть чётной. Из имеющегося набора цифр {1, 2, 3, 4, 5} чётными являются 2 и 4.

Будем последовательно выбирать цифры для каждого разряда, начиная с разряда единиц, так как на него наложено ограничение:

1. Разряд единиц: можно выбрать одну из двух цифр (2 или 4). Следовательно, есть 2 способа.
2. Разряд сотен: после выбора цифры для единиц у нас остаётся 4 цифры из пяти. Для разряда сотен можно выбрать любую из этих 4 оставшихся цифр. Следовательно, есть 4 способа.
3. Разряд десятков: после выбора цифр для единиц и сотен у нас остаётся 3 цифры. Для разряда десятков можно выбрать любую из этих 3 оставшихся цифр. Следовательно, есть 3 способа.

По правилу произведения, общее количество различных чётных трёхзначных чисел, которые можно составить, равно произведению числа способов для каждого разряда. Важно начинать подсчет с наиболее ограниченной позиции (единицы): $2 \text{ (единицы)} \times 4 \text{ (сотни)} \times 3 \text{ (десятки)} = 24$.

Ответ: 24.

б) кратными 5?

Чтобы число было кратным 5, его последняя цифра (в разряде единиц) должна быть 0 или 5. Из имеющегося набора цифр {1, 2, 3, 4, 5} этому условию удовлетворяет только цифра 5.

Будем последовательно выбирать цифры для каждого разряда:

1. Разряд единиц: можно выбрать только цифру 5. Следовательно, есть 1 способ.
2. Разряд сотен: после выбора цифры для единиц у нас остаётся 4 цифры ({1, 2, 3, 4}). Для разряда сотен можно выбрать любую из этих 4 цифр. Следовательно, есть 4 способа.
3. Разряд десятков: после выбора цифр для единиц и сотен у нас остаётся 3 цифры. Для разряда десятков можно выбрать любую из этих 3 цифр. Следовательно, есть 3 способа.

По правилу произведения, общее количество таких чисел равно: $1 \text{ (единицы)} \times 4 \text{ (сотни)} \times 3 \text{ (десятки)} = 12$.

Ответ: 12.