Номер 771, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

771. На плоскости отмечено восемь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?

Для того чтобы провести прямую, необходимо выбрать две точки. Согласно аксиоме геометрии, через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. По условию задачи, на плоскости отмечено 8 точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Это важное уточнение означает, что каждая пара точек будет определять совершенно новую, уникальную прямую, которая не совпадет ни с какой другой прямой, образованной другой парой точек.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы подсчитать, сколько всего уникальных пар точек можно составить из 8 имеющихся. Поскольку порядок точек в паре не имеет значения (прямая, проходящая через точки А и В, это та же самая прямая, что и через точки В и А), нам необходимо найти число сочетаний из 8 элементов по 2.

Формула для расчета числа сочетаний из n по k выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек n = 8, а для построения одной прямой нужно выбрать k = 2 точки. Подставим эти значения в формулу:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!}$

Сократив $6!$ в числителе и знаменателе, получим:

$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Можно решить задачу и другим способом, рассуждая последовательно. Выберем первую точку. Из нее можно провести прямые к 7 остальным точкам. Это даст нам 7 прямых. Теперь выберем вторую точку. Прямая к первой точке уже посчитана, поэтому из второй точки можно провести новые прямые к 6 оставшимся точкам. Для третьей точки это будет 5 новых прямых, для четвертой — 4, и так далее. Для предпоследней, седьмой точки, останется провести лишь одну новую прямую к последней, восьмой точке. Общее количество прямых будет суммой: $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$.

Ответ: 28