Номер 773, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

773. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если:

а) словарь нужен ему обязательно;

б) словарь ему не нужен?

Для решения этой задачи по комбинаторике необходимо сначала правильно определить количество книг каждого типа. Условие «На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений» означает, что общее количество книг равно 12, из которых 1 книга — это англо-русский словарь, а остальные 11 — художественные произведения. Проверим: 1 словарь + 11 произведений = 12 книг.

Читателю нужно выбрать 3 книги. Поскольку порядок выбора книг не имеет значения, будем использовать формулу для нахождения числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов, которые нужно выбрать.

а) словарь нужен ему обязательно;

Если читателю обязательно нужен словарь, то одна из трех выбранных книг уже определена — это тот самый единственный словарь. Способ выбрать этот словарь всего один ($C_1^1 = 1$).

Остальные $3 - 1 = 2$ книги нужно выбрать из 11 художественных произведений. Найдем количество способов сделать это с помощью формулы сочетаний:

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$

Таким образом, существует 55 способов выбрать 2 художественных произведения в дополнение к словарю. Общее количество способов в этом случае равно $1 \times 55 = 55$.

Ответ: 55

б) словарь ему не нужен?

Если читателю не нужен словарь, то все 3 книги он должен выбрать из 11 художественных произведений. Найдем количество способов сделать это:

$C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$

Следовательно, существует 165 способов выбрать 3 книги так, чтобы среди них не было словаря.

Ответ: 165