Страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

773. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если:

а) словарь нужен ему обязательно;

б) словарь ему не нужен?

Для решения этой задачи по комбинаторике необходимо сначала правильно определить количество книг каждого типа. Условие «На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений» означает, что общее количество книг равно 12, из которых 1 книга — это англо-русский словарь, а остальные 11 — художественные произведения. Проверим: 1 словарь + 11 произведений = 12 книг.

Читателю нужно выбрать 3 книги. Поскольку порядок выбора книг не имеет значения, будем использовать формулу для нахождения числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов, которые нужно выбрать.

а) словарь нужен ему обязательно;

Если читателю обязательно нужен словарь, то одна из трех выбранных книг уже определена — это тот самый единственный словарь. Способ выбрать этот словарь всего один ($C_1^1 = 1$).

Остальные $3 - 1 = 2$ книги нужно выбрать из 11 художественных произведений. Найдем количество способов сделать это с помощью формулы сочетаний:

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$

Таким образом, существует 55 способов выбрать 2 художественных произведения в дополнение к словарю. Общее количество способов в этом случае равно $1 \times 55 = 55$.

Ответ: 55

б) словарь ему не нужен?

Если читателю не нужен словарь, то все 3 книги он должен выбрать из 11 художественных произведений. Найдем количество способов сделать это:

$C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$

Следовательно, существует 165 способов выбрать 3 книги так, чтобы среди них не было словаря.

Ответ: 165

774. Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта физкультурного зала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами можно это сделать?

Для решения этой задачи необходимо вычислить количество способов, которыми можно независимо выбрать маляров и плотников, а затем, согласно правилу произведения в комбинаторике, перемножить эти количества.

Поскольку порядок выбора работников не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1. Найдём количество способов выбрать маляров.

Нужно выбрать 4 маляра из 12. В данном случае общее количество элементов $n=12$, а количество выбираемых элементов $k=4$.

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$ способов.

2. Найдём количество способов выбрать плотников.

Нужно выбрать 2 плотника из 5. Здесь $n=5$, $k=2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$ способов.

3. Найдём общее количество способов сформировать бригаду.

Общее число способов равно произведению числа способов выбора маляров и числа способов выбора плотников.

$N = C_{12}^4 \times C_5^2 = 495 \times 10 = 4950$.

Ответ: 4950

775. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

В задачах 776–782 рассматриваются различные комбинации элементов (перестановки, размещения, сочетания).

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Поскольку порядок, в котором читатель выбирает книги или журналы, не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний. Решение можно разбить на три этапа: найти количество способов выбрать книги, найти количество способов выбрать журналы, а затем перемножить эти два значения, чтобы получить общее количество способов.

1. Вычисление количества способов выбрать 3 книги из 10.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае общее количество книг $n=10$, а выбрать нужно $k=3$.

Подставим значения в формулу:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Таким образом, существует 120 способов выбрать 3 книги из 10.

2. Вычисление количества способов выбрать 2 журнала из 4.

Аналогично, для журналов общее количество $n=4$, а выбрать нужно $k=2$.

Подставим значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2 \cdot 1 \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

Таким образом, существует 6 способов выбрать 2 журнала из 4.

3. Вычисление общего количества способов.

Чтобы найти общее количество способов выбрать 3 книги и 2 журнала, необходимо воспользоваться правилом произведения в комбинаторике: нужно перемножить количество способов для каждого независимого выбора.

Общее количество способов = (Количество способов выбрать книги) $\times$ (Количество способов выбрать журналы).

Общее количество способов = $C_{10}^3 \times C_4^2 = 120 \times 6 = 720$.

Ответ: 720.

776. Сколько среди всех перестановок букв слова «высота» таких, которые:

a) начинаются с буквы «в»;

б) начинаются с буквы «а», а оканчиваются буквой «т»?

а) начинаются с буквы «в»;
Слово «высота» состоит из 6 различных букв: в, ы, с, о, т, а. Если перестановка должна начинаться с буквы «в», то первая позиция в слове из 6 букв зафиксирована. Остается 5 свободных позиций и 5 оставшихся букв (ы, с, о, т, а). Количество способов расположить эти 5 букв на 5 местах равно числу перестановок из 5 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=5$. $P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$. Следовательно, существует 120 перестановок, начинающихся с буквы «в».
Ответ: 120

б) начинаются с буквы «а», а оканчиваются буквой «т»?
В данном случае зафиксированы две позиции: первая и последняя. На первой позиции должна стоять буква «а», а на шестой — буква «т». Остаются 4 свободные позиции (со второй по пятую) и 4 оставшиеся буквы из слова «высота»: в, ы, с, о. Количество способов расставить эти 4 буквы на 4 свободных местах равно числу перестановок из 4 элементов. $P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$. Таким образом, существует 24 перестановки, которые начинаются с «а» и оканчиваются на «т».
Ответ: 24

777. Сколько чётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8, 9 (без их повторения)?

Для решения данной задачи необходимо определить количество комбинаций, удовлетворяющих заданным условиям. Мы составляем четырёхзначное число из цифр 6, 7, 8, 9 без их повторения. Это означает, что каждое число будет состоять из всех четырёх предложенных цифр.

Ключевым условием является то, что число должно быть чётным. Чётность числа определяется его последней цифрой (цифрой в разряде единиц). Чтобы число было чётным, его последняя цифра должна быть чётной. В наборе {6, 7, 8, 9} есть две чётные цифры: 6 и 8.

Воспользуемся комбинаторным правилом произведения. Будем определять количество возможных вариантов для каждой позиции в четырёхзначном числе, начиная с последней, так как на неё наложено ограничение.

1. Выбор последней цифры (разряд единиц)
На эту позицию можно поставить только одну из чётных цифр. У нас есть 2 варианта: 6 или 8.

2. Выбор остальных трёх цифр
После выбора последней цифры у нас остаются 3 неиспользованные цифры, которые нужно разместить на оставшихся трёх позициях (тысячи, сотни и десятки).

• На первую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из 3 оставшихся цифр.
• На вторую позицию (разряд сотен), после выбора первой, можно поставить любую из 2 оставшихся цифр.
• На третью позицию (разряд десятков) остаётся только 1 последняя цифра.

Количество способов расставить 3 цифры по трём местам — это число перестановок из 3 элементов, которое вычисляется как $P_3 = 3!$.

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

3. Расчёт общего количества чисел
Чтобы найти общее количество возможных чётных чисел, нужно умножить количество вариантов для выбора последней цифры на количество способов расстановки остальных трёх цифр.

Общее количество = (Количество вариантов для последней цифры) $\times$ (Количество перестановок для первых трёх цифр)
Общее количество = $2 \times 3! = 2 \times 6 = 12$.

Таким образом, существует 12 способов составить чётное четырёхзначное число из цифр 6, 7, 8, 9 без их повторения.

Ответ: 12

778. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трёх человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;

б) Иванов и Петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров — остаться?

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;
Поскольку в наряд нужно отправить трех человек, а два места уже заняты Ивановым и Петровым, нам необходимо выбрать еще одного солдата. Выбор производится из оставшихся $12 - 2 = 10$ солдат. Количество способов выбрать одного солдата из десяти равно числу сочетаний из 10 элементов по 1.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае: $C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10!}{1 \cdot 9!} = 10$ способов.
Ответ: 10.

б) Иванов и Петров должны остаться;
В этом случае мы не можем выбирать Иванова и Петрова. Следовательно, нам нужно выбрать трех солдат для наряда из оставшихся $12 - 2 = 10$ человек. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 10 по 3.
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ способов.
Ответ: 120.

в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров — остаться?
Согласно условию, одно место в наряде уже занято Ивановым, а Петров не может быть выбран. Таким образом, нам нужно добрать еще $3 - 1 = 2$ человека. Выбирать этих двух солдат мы будем из оставшихся $12 - 2 = 10$ человек (все, кроме Иванова и Петрова). Количество способов выбрать двух человек из десяти равно числу сочетаний из 10 по 2.
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$ способов.
Ответ: 45.

779. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира:

а) команду из четырёх человек;

б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой досках?

а) В этом случае необходимо выбрать команду из четырёх человек из 16, причём порядок выбора игроков не имеет значения. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Формула для числа сочетаний $k$ элементов из множества $n$ элементов выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае, общее количество человек $n = 16$, а количество человек в команде $k = 4$. Подставим эти значения в формулу:
$C_{16}^4 = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Сократим дробь для упрощения вычислений:
$C_{16}^4 = \frac{16}{4 \cdot 2} \cdot \frac{15}{3} \cdot 14 \cdot 13 = 2 \cdot 5 \cdot 14 \cdot 13 = 10 \cdot 182 = 1820$
Таким образом, существует 1820 способов сформировать команду из четырех человек.
Ответ: 1820

б) В этом случае нужно не только выбрать четырех игроков, но и распределить их по четырём разным доскам. Это означает, что порядок выбора игроков важен. Если поменять двух игроков местами, это будет уже другая расстановка. Такая задача решается с помощью формулы для числа размещений. Формула для числа размещений $k$ элементов из множества $n$ элементов:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Здесь, как и в предыдущем пункте, $n = 16$ и $k = 4$.
$A_{16}^4 = \frac{16!}{(16-4)!} = \frac{16!}{12!} = 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13$
Выполним вычисления:
$16 \cdot 15 = 240$
$240 \cdot 14 = 3360$
$3360 \cdot 13 = 43680$
Также можно рассуждать следующим образом: на первую доску можно выбрать любого из 16 игроков, на вторую — любого из 15 оставшихся, на третью — из 14, и на четвертую — из 13. Общее число способов будет равно произведению этих возможностей: $16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 = 43680$.
Ответ: 43680

780. Максим подсчитал, что существует 378 способов выбора из их класса двух дежурных. Сколько учащихся в этом классе?

Пусть $n$ — это общее количество учащихся в классе. Нам необходимо найти это число.

Задача о выборе двух дежурных из $n$ учащихся является задачей на комбинаторику, а именно на нахождение числа сочетаний. Порядок выбора дежурных не важен (пара учеников {Иван, Мария} — это те же дежурные, что и {Мария, Иван}), поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, общее число учащихся равно $n$, а выбрать нужно $k=2$ дежурных. По условию, число таких способов равно 378. Составим уравнение:

$C_n^2 = 378$

Подставим $k=2$ в формулу сочетаний и упростим ее:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Теперь мы можем решить уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 378$

Умножим обе части на 2:

$n(n-1) = 378 \cdot 2$

$n(n-1) = 756$

Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 756. Можно решить квадратное уравнение $n^2 - n - 756 = 0$, либо подобрать числа.

Оценим значение $n$. Поскольку $\sqrt{756}$ близко к $\sqrt{784}=28$, проверим числа 27 и 28.

$28 \cdot 27 = 756$

Равенство выполняется, значит $n=28$.

Если решать квадратное уравнение $n^2 - n - 756 = 0$ через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-756) = 1 + 3024 = 3025 = 55^2$

$n_{1} = \frac{-(-1) + 55}{2 \cdot 1} = \frac{56}{2} = 28$

$n_{2} = \frac{-(-1) - 55}{2 \cdot 1} = \frac{-54}{2} = -27$

Так как количество учащихся не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -27$ не является решением задачи. Следовательно, в классе 28 учащихся.

Ответ: 28.

781. Из группы туристов четырёх дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу из комбинаторики для числа сочетаний, так как порядок, в котором выбирают дежурных, не имеет значения.

Пусть $n$ — общее количество туристов в группе.

Число способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Число способов выбрать четырёх дежурных из $n$ туристов составляет:
$C_n^4 = \frac{n!}{4!(n-4)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

Число способов выбрать двух дежурных из $n$ туристов составляет:
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)}{2}$

По условию задачи известно, что число способов выбрать четырёх дежурных в 13 раз больше, чем число способов выбрать двух. На основе этого можно составить уравнение:
$C_n^4 = 13 \cdot C_n^2$

Подставим выражения для $C_n^4$ и $C_n^2$ в уравнение:
$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} = 13 \cdot \frac{n(n-1)}{2}$

Так как для выбора четырёх дежурных необходимо, чтобы общее число туристов было не меньше четырёх ($n \ge 4$), то множители $n$ и $(n-1)$ не равны нулю. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $n(n-1)$:
$\frac{(n-2)(n-3)}{24} = \frac{13}{2}$

Выразим произведение $(n-2)(n-3)$:
$(n-2)(n-3) = 13 \cdot \frac{24}{2}$
$(n-2)(n-3) = 13 \cdot 12$
$(n-2)(n-3) = 156$

Для нахождения $n$ раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$n^2 - 3n - 2n + 6 = 156$
$n^2 - 5n + 6 - 156 = 0$
$n^2 - 5n - 150 = 0$

Найдём корни уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

Корни уравнения:
$n_1 = \frac{-(-5) + 25}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 25}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$n_2 = \frac{-(-5) - 25}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 25}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Количество туристов не может быть отрицательным числом, поэтому корень $n_2 = -10$ не соответствует условию задачи. Таким образом, в группе было 15 туристов.

Ответ: 15.

782. Упростите выражение

$\frac{a + b}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{a^3 - b^3}{b^2 - a^2} : \left(1 - \frac{1 + b}{b}\right).$

Для упрощения выражения выполним действия поочередно.

1. Сначала выполним действие в скобках, приведя единицу к общему знаменателю $b$:

$ 1 - \frac{1+b}{b} = \frac{b}{b} - \frac{1+b}{b} = \frac{b - (1+b)}{b} = \frac{b - 1 - b}{b} = \frac{-1}{b} = -\frac{1}{b} $

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{a+b}{a^2+ab+b^2} \cdot \frac{a^3-b^3}{b^2-a^2} : \left(-\frac{1}{b}\right) $

3. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби, используя формулу разности кубов $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $ и формулу разности квадратов $ b^2-a^2 = (b-a)(b+a) $:

$ \frac{a^3-b^3}{b^2-a^2} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(b-a)(b+a)} $

4. Подставим разложенное выражение в наш пример. Деление на дробь $ -\frac{1}{b} $ заменим умножением на обратную ей дробь $ -b $:

$ \frac{a+b}{a^2+ab+b^2} \cdot \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(b-a)(b+a)} \cdot (-b) $

5. Теперь сократим общие множители. Множитель $ (a^2+ab+b^2) $ в знаменателе первой дроби и в числителе второй дроби сокращаются. Множитель $ (a+b) $ в числителе первой дроби и $ (b+a) $ в знаменателе второй дроби также сокращаются, так как $ a+b = b+a $.

$ \frac{1}{1} \cdot \frac{a-b}{b-a} \cdot (-b) $

6. Упростим оставшееся выражение. Заметим, что $ b-a = -(a-b) $, следовательно:

$ \frac{a-b}{b-a} = \frac{a-b}{-(a-b)} = -1 $

7. Подставим это значение и вычислим окончательный результат:

$ (-1) \cdot (-b) = b $

Ответ: $b$.