Номер 782, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

782. Упростите выражение

$\frac{a + b}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{a^3 - b^3}{b^2 - a^2} : \left(1 - \frac{1 + b}{b}\right).$

Для упрощения выражения выполним действия поочередно.

1. Сначала выполним действие в скобках, приведя единицу к общему знаменателю $b$:

$ 1 - \frac{1+b}{b} = \frac{b}{b} - \frac{1+b}{b} = \frac{b - (1+b)}{b} = \frac{b - 1 - b}{b} = \frac{-1}{b} = -\frac{1}{b} $

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{a+b}{a^2+ab+b^2} \cdot \frac{a^3-b^3}{b^2-a^2} : \left(-\frac{1}{b}\right) $

3. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби, используя формулу разности кубов $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $ и формулу разности квадратов $ b^2-a^2 = (b-a)(b+a) $:

$ \frac{a^3-b^3}{b^2-a^2} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(b-a)(b+a)} $

4. Подставим разложенное выражение в наш пример. Деление на дробь $ -\frac{1}{b} $ заменим умножением на обратную ей дробь $ -b $:

$ \frac{a+b}{a^2+ab+b^2} \cdot \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(b-a)(b+a)} \cdot (-b) $

5. Теперь сократим общие множители. Множитель $ (a^2+ab+b^2) $ в знаменателе первой дроби и в числителе второй дроби сокращаются. Множитель $ (a+b) $ в числителе первой дроби и $ (b+a) $ в знаменателе второй дроби также сокращаются, так как $ a+b = b+a $.

$ \frac{1}{1} \cdot \frac{a-b}{b-a} \cdot (-b) $

6. Упростим оставшееся выражение. Заметим, что $ b-a = -(a-b) $, следовательно:

$ \frac{a-b}{b-a} = \frac{a-b}{-(a-b)} = -1 $

7. Подставим это значение и вычислим окончательный результат:

$ (-1) \cdot (-b) = b $

Ответ: $b$.