Номер 784, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

784. Решите неравенство:

a) $x^2 - 0,5x - 5 < 0;$

б) $x^2 - 2x + 12,5 > 0.$

а) $x^2 - 0,5x - 5 < 0$

Чтобы решить данное квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 0,5x - 5 = 0$.

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на 2:

$2x^2 - x - 10 = 0$

Теперь найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-1$, $c=-10$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$

Мы нашли точки, в которых парабола $y = x^2 - 0,5x - 5$ пересекает ось Ox. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $x^2 - 0,5x - 5 < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится ниже оси Ox. Для параболы с ветвями вверх это интервал между ее корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал от -2 до 2,5, не включая концы.

Ответ: $x \in (-2; 2,5)$.

б) $x^2 - 2x + 12,5 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 2x + 12,5$. Нам нужно найти, при каких значениях $x$ эта функция принимает положительные значения. Графиком функции является парабола.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 2x + 12,5 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-2$, $c=12,5$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12,5 = 4 - 50 = -46$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (Ox).

Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля. Следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Парабола, у которой ветви направлены вверх и которая не пересекает ось Ox, полностью расположена над этой осью. Это означает, что для любого действительного значения $x$ значение выражения $x^2 - 2x + 12,5$ будет положительным.

Таким образом, неравенство $x^2 - 2x + 12,5 > 0$ справедливо для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.