Номер 4, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Что называется размещением из $n$ элементов по $k$? Запишите формулу для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$.

Что называется размещением из n элементов по k

В комбинаторике размещением из $n$ элементов по $k$ называется любой упорядоченный набор из $k$ различных элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ различных элементов.

Ключевым отличием размещений от сочетаний является то, что в размещениях важен порядок следования элементов. Два размещения считаются различными, если они отличаются составом элементов или их порядком.

Например, пусть у нас есть множество из трех элементов $\{А, Б, В\}$, то есть $n=3$. Мы хотим составить из них размещения по два элемента, то есть $k=2$. Такими размещениями будут:

• (А, Б)
• (Б, А)
• (А, В)
• (В, А)
• (Б, В)
• (В, Б)

Как видно из примера, наборы (А, Б) и (Б, А) являются разными размещениями, так как в них отличается порядок элементов. Всего получилось 6 различных размещений.

Ответ: Размещением из $n$ элементов по $k$ называется любое упорядоченное подмножество из $k$ элементов, выбранное из исходного множества, содержащего $n$ различных элементов.

Запишите формулу для вычисления числа размещений из n элементов по k

Число всех возможных размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается символом $A_n^k$ (от французского "arrangement" — размещение, приведение в порядок).

Для вывода формулы можно рассуждать следующим образом. При выборе первого элемента для нашего упорядоченного набора у нас есть $n$ вариантов. После того как первый элемент выбран, для выбора второго остается $n-1$ вариант. Для третьего — $n-2$ варианта, и так далее. Для последнего, $k$-го элемента, останется $n-(k-1)$ или $n-k+1$ вариант.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов на каждом шаге:
$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$

Эту формулу можно записать более компактно, используя факториалы. Для этого умножим и разделим выражение на $(n-k)!$:
$A_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!}$

В числителе мы получили произведение всех целых чисел от $n$ до 1, что является определением факториала числа $n$, то есть $n!$. Таким образом, формула принимает вид:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Эта формула верна при условии $0 \le k \le n$.

Ответ: Формула для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$