Номер 785, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

785. Решите систему уравнений:

a) $ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 1, \\ xy = 240; \end{array} \right. $

б) $ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 65, \\ 2x - y = 15. \end{array} \right. $

а) Решим систему уравнений методом подстановки:

$$ \begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 240. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 1 + y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(1 + y)y = 240$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:

$y + y^2 = 240$

$y^2 + y - 240 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$

$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

Теперь найдем значения $y$:

$y_1 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

$y_2 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = 1 + y$:

1. При $y_1 = -16$, $x_1 = 1 + (-16) = -15$.

2. При $y_2 = 15$, $x_2 = 1 + 15 = 16$.

Таким образом, получаем две пары решений.

Ответ: $(-15; -16)$, $(16; 15)$.

б) Решим систему уравнений методом подстановки:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 65, \\ 2x - y = 15. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$:

$-y = 15 - 2x$

$y = 2x - 15$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 + (2x - 15)^2 = 65$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 15 + 15^2) = 65$

$x^2 + 4x^2 - 60x + 225 = 65$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 - 60x + 225 - 65 = 0$

$5x^2 - 60x + 160 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 5:

$x^2 - 12x + 32 = 0$

Найдем корни полученного приведенного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 32. Легко подобрать корни:

$x_1 = 4$, $x_2 = 8$

Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 2x - 15$:

1. При $x_1 = 4$, $y_1 = 2 \cdot 4 - 15 = 8 - 15 = -7$.

2. При $x_2 = 8$, $y_2 = 2 \cdot 8 - 15 = 16 - 15 = 1$.

Таким образом, получаем две пары решений.

Ответ: $(4; -7)$, $(8; 1)$.