Номер 783, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

783. Постройте график функции $y = -2x^2 + 8$.

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 8$ необходимо исследовать ее свойства и найти ключевые точки.

Анализ функции

Функция $y = -2x^2 + 8$ является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$. Так как $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Нахождение вершины параболы

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. В нашем уравнении $a = -2$, $b = 0$.

$x_в = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$

Чтобы найти $y_в$, подставим значение $x_в = 0$ в уравнение функции:

$y_в = -2(0)^2 + 8 = 8$

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, 8)$. Осью симметрии параболы является прямая $x = 0$ (ось OY).

Нахождение точек пересечения с осями координат

Найдем точки, в которых график пересекает оси OX и OY.

Пересечение с осью OY (осью ординат): для этого подставим $x = 0$ в уравнение.

$y = -2(0)^2 + 8 = 8$

Точка пересечения с осью OY — $(0, 8)$, что совпадает с вершиной.

Пересечение с осью OX (осью абсцисс): для этого приравняем $y$ к нулю.

$-2x^2 + 8 = 0$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$ и $x_2 = 2$

Точки пересечения с осью OX — $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Построение графика по точкам

Для более точного построения найдем значения функции в нескольких дополнительных точках. Удобно взять точки, симметричные относительно оси симметрии $x=0$.

Пусть $x=1$, тогда $y = -2(1)^2 + 8 = -2 + 8 = 6$. Точка $(1, 6)$.

В силу симметрии, при $x=-1$ значение $y$ будет таким же, то есть $y=6$. Точка $(-1, 6)$.

Составим итоговую таблицу значений:

Теперь на координатной плоскости необходимо отметить найденные точки: $(-2, 0)$, $(-1, 6)$, $(0, 8)$, $(1, 6)$, $(2, 0)$ и соединить их плавной линией, учитывая, что ветви направлены вниз.

Ответ: Графиком функции $y = -2x^2 + 8$ является парабола. Ее вершина находится в точке $(0, 8)$, а ветви направлены вниз. График симметричен относительно оси OY и пересекает ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.