Номер 778, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

778. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трёх человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;

б) Иванов и Петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров — остаться?

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;
Поскольку в наряд нужно отправить трех человек, а два места уже заняты Ивановым и Петровым, нам необходимо выбрать еще одного солдата. Выбор производится из оставшихся $12 - 2 = 10$ солдат. Количество способов выбрать одного солдата из десяти равно числу сочетаний из 10 элементов по 1.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае: $C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10!}{1 \cdot 9!} = 10$ способов.
Ответ: 10.

б) Иванов и Петров должны остаться;
В этом случае мы не можем выбирать Иванова и Петрова. Следовательно, нам нужно выбрать трех солдат для наряда из оставшихся $12 - 2 = 10$ человек. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 10 по 3.
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ способов.
Ответ: 120.

в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров — остаться?
Согласно условию, одно место в наряде уже занято Ивановым, а Петров не может быть выбран. Таким образом, нам нужно добрать еще $3 - 1 = 2$ человека. Выбирать этих двух солдат мы будем из оставшихся $12 - 2 = 10$ человек (все, кроме Иванова и Петрова). Количество способов выбрать двух человек из десяти равно числу сочетаний из 10 по 2.
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$ способов.
Ответ: 45.