Номер 772, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

772. (Для работы в парах.) Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий лабораторией должен остаться?

1) Обсудите, с каким видом комбинаций мы имеем дело в каждом случае.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику, а именно сочетания, так как порядок выбора сотрудников в командировку не имеет значения. Формула для вычисления числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Всего в лаборатории работает 1 заведующий и 10 сотрудников, то есть 11 человек. Необходимо сформировать группу из 5 человек.

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

По условию, заведующий обязательно едет в командировку. Это означает, что одно место в группе из 5 человек уже занято. Нам остается выбрать еще $5 - 1 = 4$ человека. Этих людей мы будем выбирать из 10 оставшихся сотрудников (поскольку заведующий уже включен в группу). Таким образом, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 4 сотрудников из 10.

Вычислим число сочетаний из 10 по 4:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$.

Таким образом, существует 210 способов сформировать группу, если заведующий должен ехать.

Ответ: 210 способами.

б) заведующий лабораторией должен остаться?

В этом случае заведующий не едет в командировку. Это означает, что всех 5 человек для поездки нужно выбрать из 10 сотрудников. Заведующий в выборе не участвует. Задача сводится к нахождению числа способов выбрать 5 сотрудников из 10.

Вычислим число сочетаний из 10 по 5:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$.

Следовательно, существует 252 способа сформировать группу, если заведующий остается.

Ответ: 252 способами.