Номер 1, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Объясните, как ведётся подсчёт числа возможных вариантов с помощью комбинаторного правила умножения.

Комбинаторное правило умножения (также известное как основной принцип комбинаторики) — это фундаментальный метод подсчёта, который применяется, когда необходимо совершить последовательность из нескольких независимых друг от друга действий или выборов.

Суть правила заключается в следующем: если некоторый объект $A$ можно выбрать $n$ способами, и после каждого такого выбора объект $B$ можно выбрать $m$ способами, то пару объектов $(A, B)$ в указанном порядке можно выбрать $n \cdot m$ способами.

Это правило обобщается на любую последовательность из $k$ действий. Если первое действие можно выполнить $n_1$ способами, после чего второе действие можно выполнить $n_2$ способами, затем третье — $n_3$ способами, и так далее до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность действий равно произведению чисел $n_1, n_2, \ldots, n_k$.

Математически это записывается так:$N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_k$

где $N$ — общее число возможных вариантов (комбинаций).

Рассмотрим наглядный пример.

Пример 1: Выбор наряда
Предположим, у вас в шкафу есть 4 футболки и 3 пары брюк. Сколькими способами можно составить комплект из одной футболки и одних брюк?

1. Первое действие: выбор футболки. У нас есть 4 варианта. $n_1 = 4$.2. Второе действие: выбор брюк. У нас есть 3 варианта. $n_2 = 3$.

Выбор футболки и выбор брюк — это независимые действия. Для каждой из 4-х выбранных футболок мы можем выбрать любую из 3-х пар брюк. Таким образом, общее число комбинаций будет равно:$N = n_1 \cdot n_2 = 4 \cdot 3 = 12$Всего можно составить 12 различных комплектов одежды.

Пример 2: Составление PIN-кода
Сколько существует различных четырёхзначных PIN-кодов, если каждая цифра может быть любой от 0 до 9?

Составление PIN-кода можно разбить на 4 последовательных действия — выбор каждой из четырёх цифр.

1. Выбор первой цифры: у нас есть 10 вариантов (0, 1, 2, ..., 9). $n_1 = 10$.2. Выбор второй цифры: также 10 вариантов. $n_2 = 10$.3. Выбор третьей цифры: также 10 вариантов. $n_3 = 10$.4. Выбор четвертой цифры: также 10 вариантов. $n_4 = 10$.

Поскольку выбор каждой следующей цифры не зависит от предыдущих, мы можем применить правило умножения:$N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10000$

Таким образом, существует 10 000 различных четырёхзначных PIN-кодов.

Вывод:
Подсчёт числа возможных вариантов с помощью комбинаторного правила умножения сводится к трём шагам:1. Разбить сложную задачу на последовательность простых, независимых друг от друга действий (шагов).2. Определить количество возможных исходов для каждого отдельного действия.3. Перемножить полученные числа, чтобы найти общее количество комбинаций.

Ответ: Комбинаторное правило умножения гласит, что если необходимо выполнить последовательно $k$ независимых действий, и первое действие можно выполнить $n_1$ способами, второе — $n_2$ способами, и так далее до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность действий равно произведению $N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$. Это правило работает, потому что для каждого способа выполнения одного действия существуют все способы выполнения следующего действия, и так по цепочке. Например, чтобы найти число комплектов из 4 футболок и 3 пар брюк, мы умножаем число вариантов выбора футболки (4) на число вариантов выбора брюк (3), получая $4 \cdot 3 = 12$ возможных комплектов.