Страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

792. Проделайте дома такой опыт: подбросьте 50 раз монету достоинством 1 р. и подсчитайте, сколько раз выпадет орёл. Запишите результаты в тетрадь. В классе подсчитайте, сколько всеми учениками было проведено опытов и каково общее число выпадений орла. Вычислите относительную частоту выпадения орла при бросании монеты.

Эта задача представляет собой практический эксперимент по теории вероятностей. Поскольку мы не можем провести реальный эксперимент, мы опишем его методику и решим задачу с использованием гипотетических (предполагаемых) данных, чтобы продемонстрировать ход решения.

Проведение опыта дома

Первый шаг — это индивидуальный эксперимент. Нужно взять монету (в задаче указана монета достоинством 1 р.) и подбросить ее 50 раз. При каждом броске необходимо фиксировать результат: «орёл» или «решка». По окончании 50 бросков нужно подсчитать, сколько всего раз выпал «орёл».
Предположим, в результате вашего эксперимента получились следующие данные:
• «Орёл» выпал 27 раз.
• «Решка» выпала 23 раза (поскольку общее число бросков 50, то $50 - 27 = 23$).
Этот результат (27 выпадений орла) необходимо записать в тетрадь.

Ответ: В результате личного эксперимента, состоящего из 50 бросков монеты, «орёл» выпал 27 раз (это гипотетический результат).

Подсчет результатов в классе

Второй шаг — сбор и обобщение данных со всего класса. Для этого необходимо:
1. Узнать, сколько всего учеников в классе провели эксперимент.
2. Сложить количество бросков, сделанных всеми учениками, чтобы получить общее число опытов ($N$).
3. Сложить количество выпадений «орла», полученное каждым учеником, чтобы найти общее число выпадений орла ($m$).

Допустим, в вашем классе 25 учеников, и каждый из них подбросил монету 50 раз.
Тогда общее число опытов (бросков), проведенных всеми учениками, равно:
$N = 25 \text{ учеников} \times 50 \text{ бросков} = 1250 \text{ бросков}$
Теперь предположим, что после того, как все ученики сообщили свои результаты по числу выпавших «орлов», их общая сумма составила 618.

Ответ: Всего учениками было проведено 1250 опытов, общее число выпадений орла составило 618 (на основе гипотетических данных).

Вычисление относительной частоты выпадения орла

Относительная частота события — это величина, которая показывает, какая доля от общего числа испытаний завершилась наступлением этого события. Она вычисляется по формуле:
$W(A) = \frac{m}{N}$
где $W(A)$ — относительная частота события $A$, $m$ — число испытаний, в которых событие $A$ произошло, а $N$ — общее число проведенных испытаний.

В нашем случае:
• Событие $A$ — это выпадение «орла».
• Общее число испытаний $N = 1250$.
• Число наступления события (общее число выпадений «орла») $m = 618$.

Подставляем наши данные в формулу и вычисляем относительную частоту:
$W(\text{орёл}) = \frac{618}{1250}$
Для удобства переведем эту дробь в десятичную:
$W(\text{орёл}) = \frac{618}{1250} = \frac{309}{625} = 0.4944$

Полученное значение $0.4944$ очень близко к теоретической вероятности выпадения орла для идеальной симметричной монеты, которая равна $P(\text{орёл}) = \frac{1}{2} = 0.5$. Это иллюстрирует важный принцип теории вероятностей — закон больших чисел, согласно которому при большом количестве испытаний относительная частота события приближается к его теоретической вероятности.

Ответ: Относительная частота выпадения орла при бросании монеты, вычисленная по результатам всего класса, составляет 0,4944.

793. Отмечая число попаданий в цель в каждой серии из 50 выстрелов, которые производил стрелок, получили такие данные:

38, 40, 42, 40, 39, 42, 43, 45, 40.

Какова относительная частота попаданий в цель этим стрелком в каждой серии выстрелов? Какое предположение о вероятности попадания в цель для этого стрелка можно сделать?

Какова относительная частота попаданий в цель этим стрелком в каждой серии выстрелов?

Относительная частота события — это отношение числа благоприятных исходов (попаданий) к общему числу испытаний (выстрелов). В каждой серии было произведено $n = 50$ выстрелов.

Формула для расчета относительной частоты $W(A)$:
$ W(A) = \frac{m}{n} $, где $m$ — число попаданий, $n$ — число выстрелов.

Рассчитаем относительную частоту для каждой серии:

• Для первой серии (38 попаданий): $ W_1 = \frac{38}{50} = 0,76 $
• Для второй серии (40 попаданий): $ W_2 = \frac{40}{50} = 0,80 $
• Для третьей серии (42 попадания): $ W_3 = \frac{42}{50} = 0,84 $
• Для четвертой серии (40 попаданий): $ W_4 = \frac{40}{50} = 0,80 $
• Для пятой серии (39 попаданий): $ W_5 = \frac{39}{50} = 0,78 $
• Для шестой серии (42 попадания): $ W_6 = \frac{42}{50} = 0,84 $
• Для седьмой серии (43 попадания): $ W_7 = \frac{43}{50} = 0,86 $
• Для восьмой серии (45 попаданий): $ W_8 = \frac{45}{50} = 0,90 $
• Для девятой серии (40 попаданий): $ W_9 = \frac{40}{50} = 0,80 $

Ответ: Относительные частоты попаданий в каждой серии равны соответственно: 0,76; 0,80; 0,84; 0,80; 0,78; 0,84; 0,86; 0,90; 0,80.

Какое предположение о вероятности попадания в цель для этого стрелка можно сделать?

Согласно закону больших чисел, при увеличении числа испытаний относительная частота события стремится к его истинной вероятности. В качестве оценки вероятности попадания в цель для данного стрелка можно взять среднее арифметическое полученных относительных частот или общую относительную частоту для всех выстрелов.

Найдем общее число попаданий и общее число выстрелов:
Общее число попаданий: $ m_{общ} = 38 + 40 + 42 + 40 + 39 + 42 + 43 + 45 + 40 = 369 $.
Общее число выстрелов: $ n_{общ} = 9 \text{ серий} \times 50 \text{ выстрелов/серия} = 450 $.

Теперь вычислим общую относительную частоту, которая будет нашей оценкой вероятности $P(A)$:
$ P(A) \approx \frac{m_{общ}}{n_{общ}} = \frac{369}{450} = \frac{41}{50} = 0,82 $.

Полученные в каждой серии относительные частоты (0,76; 0,80; 0,84; 0,80; 0,78; 0,84; 0,86; 0,90; 0,80) колеблются вокруг значения 0,82. Это подтверждает наше предположение.

Ответ: Можно предположить, что вероятность попадания в цель для этого стрелка близка к 0,82 (или 82%).

794. Готовясь к соревнованиям, баскетболист совершил 16 штрафных бросков, при этом мяч 9 раз попал в корзину. Можно ли утверждать, что для данного баскетболиста вероятность попадания мяча в корзину при бросании штрафных очков равна $\frac{9}{16}$?

Данный вопрос касается различия между понятиями статистической частоты и вероятности.

Величина, полученная в результате эксперимента, является относительной (или статистической) частотой события. Она рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов к общему числу проведенных испытаний. В данном случае:

• Общее число испытаний (бросков) $n = 16$.
• Число благоприятных исходов (попаданий) $m = 9$.

Относительная частота попадания в этой конкретной серии бросков равна $W = \frac{m}{n} = \frac{9}{16}$.

Однако вероятность – это теоретическая характеристика, которая описывает, насколько вероятно событие в принципе. Согласно закону больших чисел, относительная частота события приближается к его истинной вероятности только при очень большом, в пределе — бесконечном, числе испытаний.

Выборка из 16 бросков слишком мала, чтобы делать окончательный вывод об истинной вероятности. Результат мог быть случайным. Например, в следующей серии из 16 бросков тот же баскетболист может попасть 8 или 10 раз, и тогда относительная частота будет уже другой ($\frac{8}{16}$ или $\frac{10}{16}$).

Таким образом, значение $\frac{9}{16}$ является лишь статистической оценкой вероятности, полученной на основе одного короткого эксперимента. Утверждать, что это и есть точное значение вероятности, нельзя.

Ответ: Нет, утверждать, что вероятность попадания для данного баскетболиста равна в точности $\frac{9}{16}$, нельзя. Это значение является лишь относительной частотой события, зафиксированной в одной конкретной серии из 16 бросков, что представляет собой недостаточный объем данных для определения точной вероятности.

795. Многократная проверка показала, что всхожесть семян огурцов определённого сорта равна 0,9. Посадили 85 семян этого сорта. Какое предположение можно сделать о числе проросших семян?

Чтобы сделать предположение о числе проросших семян, необходимо найти его наиболее вероятное значение. В теории вероятностей для такой задачи используется понятие математического ожидания, которое представляет собой среднее значение случайной величины.

В данной задаче у нас есть:
- Общее количество посаженных семян (число испытаний): $n = 85$.
- Вероятность всхожести одного семени (вероятность успеха): $p = 0.9$.

Математическое ожидание числа проросших семян, то есть среднее количество, которое мы ожидаем получить, вычисляется как произведение общего числа семян на вероятность всхожести одного семени.

Формула для математического ожидания $M$:
$M = n \cdot p$

Подставим наши данные в формулу и выполним вычисление:
$M = 85 \cdot 0.9 = 76.5$

Полученное значение 76,5 не является целым числом, но оно представляет собой наиболее точный прогноз. Поскольку количество проросших семян в реальности может быть только целым, мы можем предположить, что их число будет очень близко к 76,5. Таким образом, наиболее разумное предположение — это 76 или 77 проросших семян.

Ответ: Можно предположить, что прорастет около 76–77 семян, так как математическое ожидание (среднее ожидаемое число) проросших семян равно $85 \cdot 0.9 = 76.5$.

796. Найдите область определения и область значений функции:

а) $f(x) = x^2 - 10x - 17$;

б) $g(x) = \frac{1}{|x| - x}$.

а) $f(x) = x^2 - 10x - 17$

Область определения:
Функция $f(x)$ является квадратичным многочленом. Многочлены определены для любых действительных значений аргумента $x$. Поэтому область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений:
График данной функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.
Наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_0 = f(x_0)$:
$y_0 = f(5) = 5^2 - 10 \cdot 5 - 17 = 25 - 50 - 17 = -42$.
Альтернативный способ — выделение полного квадрата:
$f(x) = x^2 - 10x - 17 = (x^2 - 10x + 25) - 25 - 17 = (x - 5)^2 - 42$.
Так как $(x-5)^2 \ge 0$ для любого $x$, наименьшее значение функции достигается при $(x-5)^2 = 0$ и равно $-42$.
Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные $-42$.
$E(f) = [-42; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; Область значений $E(f) = [-42; +\infty)$.

б) $g(x) = \frac{1}{|x| - x}$

Область определения:
Функция определена, когда ее знаменатель не равен нулю.
$|x| - x \neq 0 \implies |x| \neq x$.
Равенство $|x| = x$ справедливо для всех неотрицательных $x$ (то есть при $x \ge 0$).
Следовательно, чтобы знаменатель не был равен нулю, необходимо, чтобы $x$ был строго меньше нуля.
$D(g) = (-\infty; 0)$.

Область значений:
Рассмотрим функцию на ее области определения, т.е. при $x < 0$.
Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$.
Подставим это в выражение для функции:
$g(x) = \frac{1}{-x - x} = \frac{1}{-2x}$.
Поскольку по условию $x < 0$, то знаменатель $-2x$ всегда будет положительным числом ($-2x > 0$).
Так как и числитель (1), и знаменатель $(-2x)$ положительны, то и сама функция $g(x)$ будет принимать только положительные значения: $g(x) > 0$.
Исследуем поведение функции на границах области определения.
При $x \to 0^-$ (стремится к нулю слева), знаменатель $-2x \to 0^+$, а значение функции $g(x) \to +\infty$.
При $x \to -\infty$, знаменатель $-2x \to +\infty$, а значение функции $g(x) \to 0$.
Значит, функция принимает все значения в интервале от 0 до $+\infty$, не включая 0.
$E(g) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(g) = (-\infty; 0)$; Область значений $E(g) = (0; +\infty)$.

797. Решите неравенство:

а) $4x - 5x^2 < 0;$

б) $9x^2 \le -5x;$

в) $6x^2 - x - 35 > 0.$

а) Решим неравенство $4x - 5x^2 < 0$.

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $4x - 5x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4 - 5x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два корня:

$x_1 = 0$

$4 - 5x = 0 \implies 5x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{5}$

Теперь рассмотрим функцию $y = 4x - 5x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-5$).

Парабола пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=\frac{4}{5}$. Поскольку ветви направлены вниз, значения функции будут отрицательными (меньше нуля) вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство $4x - 5x^2 < 0$ выполняется при $x < 0$ и при $x > \frac{4}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{4}{5}, +\infty)$.

б) Решим неравенство $9x^2 \le -5x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$9x^2 + 5x \le 0$

Найдем корни уравнения $9x^2 + 5x = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$x(9x + 5) = 0$

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

$9x + 5 = 0 \implies 9x = -5 \implies x_2 = -\frac{5}{9}$

Рассмотрим функцию $y = 9x^2 + 5x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный (9).

Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-\frac{5}{9}$ и $x=0$. Так как ветви направлены вверх, значения функции будут неположительными (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{5}{9} \le x \le 0$.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{9}, 0]$.

в) Решим неравенство $6x^2 - x - 35 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - x - 35 = 0$ с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $a = 6, b = -1, c = -35$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-35) = 1 + 840 = 841$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$.

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 29}{2 \cdot 6} = \frac{-28}{12} = -\frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 29}{2 \cdot 6} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$

Рассмотрим функцию $y = 6x^2 - x - 35$. Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=6 > 0$).

Значения функции будут положительными (больше нуля) вне интервала между корнями. Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Таким образом, решение неравенства: $x < -\frac{7}{3}$ и $x > \frac{5}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{7}{3}) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$.