Номер 796, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

796. Найдите область определения и область значений функции:

а) $f(x) = x^2 - 10x - 17$;

б) $g(x) = \frac{1}{|x| - x}$.

а) $f(x) = x^2 - 10x - 17$

Область определения:
Функция $f(x)$ является квадратичным многочленом. Многочлены определены для любых действительных значений аргумента $x$. Поэтому область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений:
График данной функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.
Наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_0 = f(x_0)$:
$y_0 = f(5) = 5^2 - 10 \cdot 5 - 17 = 25 - 50 - 17 = -42$.
Альтернативный способ — выделение полного квадрата:
$f(x) = x^2 - 10x - 17 = (x^2 - 10x + 25) - 25 - 17 = (x - 5)^2 - 42$.
Так как $(x-5)^2 \ge 0$ для любого $x$, наименьшее значение функции достигается при $(x-5)^2 = 0$ и равно $-42$.
Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные $-42$.
$E(f) = [-42; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; Область значений $E(f) = [-42; +\infty)$.

б) $g(x) = \frac{1}{|x| - x}$

Область определения:
Функция определена, когда ее знаменатель не равен нулю.
$|x| - x \neq 0 \implies |x| \neq x$.
Равенство $|x| = x$ справедливо для всех неотрицательных $x$ (то есть при $x \ge 0$).
Следовательно, чтобы знаменатель не был равен нулю, необходимо, чтобы $x$ был строго меньше нуля.
$D(g) = (-\infty; 0)$.

Область значений:
Рассмотрим функцию на ее области определения, т.е. при $x < 0$.
Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$.
Подставим это в выражение для функции:
$g(x) = \frac{1}{-x - x} = \frac{1}{-2x}$.
Поскольку по условию $x < 0$, то знаменатель $-2x$ всегда будет положительным числом ($-2x > 0$).
Так как и числитель (1), и знаменатель $(-2x)$ положительны, то и сама функция $g(x)$ будет принимать только положительные значения: $g(x) > 0$.
Исследуем поведение функции на границах области определения.
При $x \to 0^-$ (стремится к нулю слева), знаменатель $-2x \to 0^+$, а значение функции $g(x) \to +\infty$.
При $x \to -\infty$, знаменатель $-2x \to +\infty$, а значение функции $g(x) \to 0$.
Значит, функция принимает все значения в интервале от 0 до $+\infty$, не включая 0.
$E(g) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(g) = (-\infty; 0)$; Область значений $E(g) = (0; +\infty)$.