Номер 797, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

797. Решите неравенство:

а) $4x - 5x^2 < 0;$

б) $9x^2 \le -5x;$

в) $6x^2 - x - 35 > 0.$

а) Решим неравенство $4x - 5x^2 < 0$.

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $4x - 5x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4 - 5x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два корня:

$x_1 = 0$

$4 - 5x = 0 \implies 5x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{5}$

Теперь рассмотрим функцию $y = 4x - 5x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-5$).

Парабола пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=\frac{4}{5}$. Поскольку ветви направлены вниз, значения функции будут отрицательными (меньше нуля) вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство $4x - 5x^2 < 0$ выполняется при $x < 0$ и при $x > \frac{4}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{4}{5}, +\infty)$.

б) Решим неравенство $9x^2 \le -5x$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$9x^2 + 5x \le 0$

Найдем корни уравнения $9x^2 + 5x = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$x(9x + 5) = 0$

Корни уравнения:

$x_1 = 0$

$9x + 5 = 0 \implies 9x = -5 \implies x_2 = -\frac{5}{9}$

Рассмотрим функцию $y = 9x^2 + 5x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный (9).

Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-\frac{5}{9}$ и $x=0$. Так как ветви направлены вверх, значения функции будут неположительными (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{5}{9} \le x \le 0$.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{9}, 0]$.

в) Решим неравенство $6x^2 - x - 35 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - x - 35 = 0$ с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $a = 6, b = -1, c = -35$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-35) = 1 + 840 = 841$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$.

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 29}{2 \cdot 6} = \frac{-28}{12} = -\frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 29}{2 \cdot 6} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$

Рассмотрим функцию $y = 6x^2 - x - 35$. Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=6 > 0$).

Значения функции будут положительными (больше нуля) вне интервала между корнями. Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Таким образом, решение неравенства: $x < -\frac{7}{3}$ и $x > \frac{5}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{7}{3}) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$.