Страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

798. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

Для определения вероятности используем формулу:

Вероятность = $ \frac{\text{Количество выигрышных билетов}}{\text{Общее количество билетов}} $

Подставляем значения:

$ \frac{120}{1500} $

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Общее число всех равновозможных исходов ($N$) — это общее количество лотерейных билетов.
$N = 1500$

Число благоприятных исходов ($m$) — это количество выигрышных билетов.
$m = 120$

Вероятность ($P$) того, что купленный билет окажется выигрышным, находится по формуле:
$P = \frac{m}{N}$

Подставим в формулу числовые значения:
$P = \frac{120}{1500}$

Теперь упростим полученную дробь. Сначала сократим ее на 10:
$P = \frac{12}{150}$

Далее, сократим числитель и знаменатель на 6 (так как 12 делится на 6, и 150 делится на 6):
$P = \frac{12 \div 6}{150 \div 6} = \frac{2}{25}$

Чтобы представить результат в виде десятичной дроби, можно разделить 2 на 25 или умножить числитель и знаменатель на 4, чтобы в знаменателе получилось 100:
$P = \frac{2 \times 4}{25 \times 4} = \frac{8}{100} = 0,08$

Таким образом, вероятность купить выигрышный билет равна 0,08.

Ответ: 0,08.

799. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет:

a) 1 очко;

б) более 4 очков?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$. Формула выглядит так: $P = \frac{m}{n}$.

Стандартный игральный кубик имеет 6 граней, на каждой из которых нанесено число очков от 1 до 6. Следовательно, при одном броске общее число всех равновозможных исходов $n=6$.

а) 1 очко

Событие заключается в том, что на кубике выпадет 1 очко. Этому событию благоприятствует только один исход — когда на верхней грани оказывается число 1. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 1$.

Теперь можем рассчитать вероятность этого события:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

б) более 4 очков

Событие заключается в том, что на кубике выпадет число очков больше 4. Этому условию удовлетворяют исходы, когда выпадает 5 или 6 очков.

Перечислим благоприятные исходы: {5, 6}. Их количество равно 2. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 2$.

Рассчитаем вероятность этого события, используя общее число исходов $n=6$:

$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6}$

Полученную дробь можно сократить:

$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

800. Ученик записал в тетради произвольное двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих данному событию.

1. Найдем общее число возможных исходов $n$. Событие заключается в том, что ученик записал произвольное двузначное число. Двузначными числами являются все целые числа от 10 до 99 включительно. Чтобы найти их количество, можно из 99 вычесть все числа, которые не являются двузначными (от 1 до 9), либо посчитать их напрямую: $99 - 10 + 1 = 90$. Таким образом, общее число возможных исходов $n = 90$.

2. Найдем число благоприятствующих исходов $m$. Благоприятствующий исход — это двузначное число, сумма цифр которого равна 6. Перечислим все такие числа. Пусть первая цифра числа — $a$, а вторая — $b$. Условие задачи: $a + b = 6$. При этом для двузначного числа первая цифра $a$ не может быть нулем ($a \ge 1$), а вторая цифра $b$ может быть любой от 0 до 9. Выпишем все подходящие пары цифр $(a, b)$:

• Если первая цифра 1, то вторая $6 - 1 = 5$. Число 15.
• Если первая цифра 2, то вторая $6 - 2 = 4$. Число 24.
• Если первая цифра 3, то вторая $6 - 3 = 3$. Число 33.
• Если первая цифра 4, то вторая $6 - 4 = 2$. Число 42.
• Если первая цифра 5, то вторая $6 - 5 = 1$. Число 51.
• Если первая цифра 6, то вторая $6 - 6 = 0$. Число 60.

Если первая цифра будет 7 или больше, то вторая цифра станет отрицательной, что невозможно. Таким образом, существует 6 двузначных чисел, сумма цифр которых равна 6. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 6$.

3. Рассчитаем искомую вероятность. $P = \frac{m}{n} = \frac{6}{90}$ Сократим полученную дробь на 6: $P = \frac{1}{15}$

Ответ: $\frac{1}{15}$.

801. В кооперативном доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на первом этаже, а 6 — на последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира, расположенная на первом или на последнем этаже?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула выглядит так: $P = \frac{m}{n}$.

1. Определим общее число исходов ($n$). Общее число исходов — это общее количество квартир в доме, так как любая из них может достаться жильцу по жребию. $n = 93$.

2. Определим число благоприятных исходов ($m$). Благоприятным исходом считается получение квартиры, которая не находится ни на первом, ни на последнем этаже.

Сначала найдем общее количество квартир на первом и последнем этажах: $3 (\text{на первом}) + 6 (\text{на последнем}) = 9$ квартир.

Теперь вычтем это количество из общего числа квартир, чтобы найти число благоприятных исходов: $m = 93 - 9 = 84$ квартиры.

3. Вычислим вероятность. Подставим найденные значения в формулу вероятности: $P = \frac{m}{n} = \frac{84}{93}$

Полученную дробь можно сократить. И числитель, и знаменатель делятся на 3: $84 \div 3 = 28$ $93 \div 3 = 31$

Таким образом, искомая вероятность равна $\frac{28}{31}$.

Ответ: $\frac{28}{31}$

802. Какова вероятность того, что при бросании двух кубиков сумма выпавших на них очков равна 3?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных для этого события исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$. Формула выглядит так:

$P = \frac{m}{n}$

1. Найдем общее число всех равновозможных исходов ($n$).

У стандартного игрального кубика 6 граней, поэтому при одном броске возможно 6 исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Поскольку мы бросаем два кубика, общее число всех возможных комбинаций равно произведению числа исходов для каждого кубика.

$n = 6 \times 6 = 36$

Таким образом, существует 36 различных равновозможных исходов.

2. Найдем число благоприятных исходов ($m$).

Благоприятным исходом в данной задаче является тот, при котором сумма очков на двух кубиках равна 3. Перечислим все комбинации, которые удовлетворяют этому условию. Обозначим результат на первом кубике как $k_1$, а на втором — как $k_2$.

• Если на первом кубике выпало 1 ($k_1=1$), то на втором должно выпасть 2 ($k_2=2$), так как $1 + 2 = 3$.
• Если на первом кубике выпало 2 ($k_1=2$), то на втором должно выпасть 1 ($k_2=1$), так как $2 + 1 = 3$.

Если на первом кубике выпадет 3 или больше, то сумма уже будет больше 3. Следовательно, других комбинаций, дающих в сумме 3, не существует.

Таким образом, у нас есть всего 2 благоприятных исхода: (1; 2) и (2; 1).

$m = 2$

3. Вычислим вероятность.

Теперь, зная общее число исходов и число благоприятных исходов, мы можем рассчитать искомую вероятность, подставив значения в формулу:

$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{36}$

Сократим полученную дробь:

$P = \frac{1}{18}$

Ответ: $\frac{1}{18}$

803. Андрей и Олег договорились, что если при бросании двух игральных кубиков в сумме выпадет число очков, кратное 5, то выигрывает Андрей, а если в сумме выпадет число очков, кратное 6, то выигрывает Олег. У кого из мальчиков больше шансов выиграть?

Для того чтобы определить, у кого из мальчиков больше шансов выиграть, необходимо вычислить вероятность выигрыша для каждого из них и сравнить полученные значения. Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

1. Общее число возможных исходов

При бросании двух стандартных игральных кубиков, на каждом из которых может выпасть число от 1 до 6, общее количество всех возможных комбинаций равно произведению числа исходов для каждого кубика.Общее число исходов: $N = 6 \times 6 = 36$.

2. Вероятность выигрыша Андрея

Андрей выигрывает, если сумма выпавших очков кратна 5. Минимально возможная сумма очков — $1+1=2$, максимальная — $6+6=12$. В этом диапазоне числами, кратными 5, являются 5 и 10.

Найдем все комбинации, которые в сумме дают 5:

• 1 и 4
• 2 и 3
• 3 и 2
• 4 и 1

Это 4 благоприятных исхода.

Найдем все комбинации, которые в сумме дают 10:

• 4 и 6
• 5 и 5
• 6 и 4

Это 3 благоприятных исхода.

Общее число благоприятных исходов для Андрея ($N_{Андрей}$) составляет $4 + 3 = 7$.Вероятность выигрыша Андрея: $P(Андрей) = \frac{7}{36}$.

3. Вероятность выигрыша Олега

Олег выигрывает, если сумма выпавших очков кратна 6. В диапазоне от 2 до 12 такими числами являются 6 и 12.

Найдем все комбинации, которые в сумме дают 6:

• 1 и 5
• 2 и 4
• 3 и 3
• 4 и 2
• 5 и 1

Это 5 благоприятных исходов.

Найдем комбинацию, которая в сумме дает 12:

• 6 и 6

Это 1 благоприятный исход.

Общее число благоприятных исходов для Олега ($N_{Олег}$) составляет $5 + 1 = 6$.Вероятность выигрыша Олега: $P(Олег) = \frac{6}{36}$.

4. Сравнение шансов

Теперь сравним вероятности выигрыша обоих мальчиков:Вероятность выигрыша Андрея: $P(Андрей) = \frac{7}{36}$.Вероятность выигрыша Олега: $P(Олег) = \frac{6}{36}$.

Так как $7 > 6$, то и $\frac{7}{36} > \frac{6}{36}$. Следовательно, у Андрея больше шансов на выигрыш.

Ответ: у Андрея больше шансов выиграть.

804. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности идут 3 последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. Какова вероятность того, что абонент набрал верный номер?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов $N$. Формула выглядит так: $P = \frac{m}{N}$.

В данной задаче событие, вероятность которого мы ищем, — это набор верного телефонного номера.

Абонент знает первые четыре цифры номера, поэтому ошибка может произойти только в последних трех цифрах. По условию, последние три цифры — это 1, 5 и 9, но их порядок неизвестен. Абонент набирает одну из возможных комбинаций этих трех цифр наугад.

Сначала определим общее число возможных исходов $N$. Это число равно количеству всех возможных способов расположить три различные цифры (1, 5, 9) на трех последних местах номера. Это задача на нахождение числа перестановок из трех элементов.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле: $P_n = n!$.

В нашем случае $n=3$, так как у нас три цифры. Следовательно, общее число $N$ возможных комбинаций для последних трех цифр равно:

$N = P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Таким образом, существует 6 возможных вариантов для последних трех цифр номера: (1, 5, 9), (1, 9, 5), (5, 1, 9), (5, 9, 1), (9, 1, 5), (9, 5, 1). Все эти варианты равновозможны, так как абонент выбирает комбинацию наугад.

Теперь определим число благоприятствующих исходов $m$. Благоприятствующий исход — это набор правильной последовательности цифр. Так как телефонный номер только один, то и правильная последовательность последних трех цифр тоже только одна. Значит, число благоприятствующих исходов $m=1$.

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$