Страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

821. В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность (для обладателя одного билета):

а) вещевого выигрыша;

б) денежного выигрыша;

в) какого-либо выигрыша?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу равновозможных исходов $n$:

$P = \frac{m}{n}$

В условиях данной задачи общее число равновозможных исходов $n$ равно общему количеству лотерейных билетов, то есть $n = 100 000$.

а) вещевого выигрыша;

Пусть событие $A$ — это выигрыш вещевого приза. Число билетов с вещевым выигрышем (число благоприятных исходов) составляет $m_a = 1200$.

Тогда вероятность вещевого выигрыша $P(A)$ равна:

$P(A) = \frac{1200}{100000} = \frac{12}{1000} = 0,012$

Ответ: $0,012$.

б) денежного выигрыша;

Пусть событие $B$ — это выигрыш денежного приза. Число билетов с денежным выигрышем (число благоприятных исходов) составляет $m_b = 800$.

Тогда вероятность денежного выигрыша $P(B)$ равна:

$P(B) = \frac{800}{100000} = \frac{8}{1000} = 0,008$

Ответ: $0,008$.

в) какого-либо выигрыша?

Пусть событие $C$ — это выигрыш какого-либо приза. Число благоприятных исходов для этого события равно сумме количества вещевых и денежных выигрышей, так как эти события несовместны (один билет не может быть одновременно и вещевым, и денежным выигрышем).

Число билетов с каким-либо выигрышем: $m_c = 1200 + 800 = 2000$.

Тогда вероятность какого-либо выигрыша $P(C)$ равна:

$P(C) = \frac{2000}{100000} = \frac{20}{1000} = \frac{2}{100} = 0,02$

Альтернативно, вероятность выигрыша какого-либо приза можно найти как сумму вероятностей несовместных событий $A$ и $B$:

$P(C) = P(A) + P(B) = 0,012 + 0,008 = 0,02$

Ответ: $0,02$.

822. Взяли четыре карточки. На первой написали букву «о», на второй — «т», на третьей — «с», на четвёртой — «р». Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад одну карточку за другой и положили их в ряд. Какова вероятность того, что в результате получилось слово «трос» или слово «сорт»?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов.

У нас есть четыре разные карточки с буквами «о», «т», «с», «р». Мы выкладываем их в ряд, что представляет собой перестановку этих четырех букв. Общее число всех возможных перестановок из $n$ различных элементов равно $n!$ (n-факториал).

В данном случае $n=4$. Общее число возможных слов, которые можно составить, равно:

$N = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Таким образом, существует 24 равновозможных исхода.

2. Найдем число благоприятных исходов.

Благоприятными исходами являются те, при которых получается слово «трос» или слово «сорт».

• Получение слова «трос» — это один конкретный исход.
• Получение слова «сорт» — это еще один конкретный исход.

Поскольку эти два события (получение слова "трос" и получение слова "сорт") не могут произойти одновременно, мы можем просто сложить их количество. Общее число благоприятных исходов $M$ равно:

$M = 1 + 1 = 2$

3. Вычислим вероятность.

Вероятность $P$ искомого события равна отношению числа благоприятных исходов $M$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{M}{N} = \frac{2}{24}$

Сократим полученную дробь:

$P = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

823. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на одном кубике выпадет одно очко, а на другом — более трёх очков?

Для решения этой задачи используется классическая формула вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число исходов $n$. При броске одного игрального кубика может выпасть 6 вариантов (от 1 до 6 очков). Поскольку бросают два кубика, и результаты их бросков независимы, общее количество возможных комбинаций равно произведению числа вариантов для каждого кубика:

$n = 6 \times 6 = 36$

Теперь определим число благоприятствующих исходов $m$. Условие задачи: «на одном кубике выпадет одно очко, а на другом — более трёх очков».

Событие «выпало более трёх очков» означает, что на кубике выпало число 4, 5 или 6. Это 3 возможных исхода.

Рассмотрим две взаимоисключающие ситуации, которые удовлетворяют условию:

1. На первом кубике выпало 1 очко, а на втором — более трёх очков (то есть 4, 5 или 6). Это даёт нам следующие пары: (1, 4), (1, 5), (1, 6). Всего 3 благоприятных исхода.

2. На втором кубике выпало 1 очко, а на первом — более трёх очков (то есть 4, 5 или 6). Это даёт нам следующие пары: (4, 1), (5, 1), (6, 1). Всего еще 3 благоприятных исхода.

Общее число благоприятствующих исходов $m$ является суммой исходов из обеих ситуаций:

$m = 3 + 3 = 6$

Наконец, вычисляем вероятность, подставляя найденные значения $m$ и $n$ в формулу:

$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

824. В одной партии электролампочек 3% бракованных, а в другой – 4% бракованных. Наугад берут по одной лампочке из каждой партии. Какова вероятность того, что обе лампочки окажутся бракованными?

Для решения этой задачи нам нужно найти вероятность одновременного наступления двух независимых событий.

Событие A: из первой партии взята бракованная лампочка.
Вероятность этого события $P(A)$ равна доле бракованных лампочек в первой партии. По условию это 3%. Для расчетов переведем проценты в десятичную дробь:
$P(A) = 3\% = \frac{3}{100} = 0.03$

Событие B: из второй партии взята бракованная лампочка.
Вероятность этого события $P(B)$ равна доле бракованных лампочек во второй партии. По условию это 4%. Также переведем в десятичную дробь:
$P(B) = 4\% = \frac{4}{100} = 0.04$

Выбор лампочки из первой партии и выбор лампочки из второй партии — это независимые события, так как результат одного выбора не влияет на результат другого.

Вероятность того, что оба независимых события произойдут одновременно (то есть обе лампочки окажутся бракованными), вычисляется как произведение их индивидуальных вероятностей:
$P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B)$

Подставим значения и произведем расчет:
$P(A \text{ и } B) = 0.03 \times 0.04 = 0.0012$

Таким образом, вероятность того, что обе лампочки окажутся бракованными, равна 0.0012.

Ответ: 0.0012

825. На одной полке стоит 12 книг, 2 из которых — сборники стихов, а на другой — 15 книг, 3 из которых — сборники стихов. Наугад берут с каждой полки по одной книге. Какова вероятность того, что обе книги окажутся сборниками стихов?

Для решения этой задачи нам нужно определить вероятность двух независимых событий, которые должны произойти одновременно. Пусть событие A — это выбор сборника стихов с первой полки, а событие B — это выбор сборника стихов со второй полки.

Так как выбор книги с одной полки никак не влияет на выбор книги с другой, эти события являются независимыми. Вероятность того, что оба независимых события произойдут, равна произведению их вероятностей:

$P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B)$

Сначала вычислим вероятность события A. На первой полке всего 12 книг, из которых 2 — сборники стихов. Вероятность выбрать сборник стихов с первой полки равна отношению числа благоприятных исходов (количество сборников стихов) к общему числу исходов (общее количество книг).

$P(A) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Теперь вычислим вероятность события B. На второй полке всего 15 книг, из которых 3 — сборники стихов. Аналогично находим вероятность выбрать сборник стихов со второй полки:

$P(B) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Наконец, чтобы найти искомую вероятность того, что обе взятые книги окажутся сборниками стихов, перемножим вероятности событий A и B:

$P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{30}$

Ответ: $\frac{1}{30}$

826. В мешке находится 5 белых шаров и 3 чёрных. Из мешка наугад вынимают один шар. Его цвет записывают, шар возвращают в мешок и шары перемешивают. Затем снова из мешка вынимают один шар. Какова вероятность того, что оба раза будут вынуты:

a) белые шары;

б) чёрные шары?

Для решения задачи определим общее количество шаров в мешке и вероятности извлечения шара определенного цвета за одну попытку.

Всего шаров в мешке: $5$ белых $+ 3$ чёрных $= 8$ шаров.

Поскольку шар после каждого извлечения возвращается в мешок, состав шаров в мешке не меняется, и результаты двух извлечений являются независимыми событиями. Вероятность наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

а) белые шары;

Вероятность вынуть белый шар за одну попытку равна отношению количества белых шаров к общему количеству шаров:

$P(\text{белый}) = \frac{5}{8}$

Вероятность того, что оба раза будут вынуты белые шары, равна произведению вероятностей вынуть белый шар в первой и во второй попытке:

$P(\text{оба белые}) = P(\text{белый}) \times P(\text{белый}) = \frac{5}{8} \times \frac{5}{8} = \frac{25}{64}$

Ответ: $\frac{25}{64}$

б) чёрные шары?

Вероятность вынуть чёрный шар за одну попытку равна отношению количества чёрных шаров к общему количеству шаров:

$P(\text{чёрный}) = \frac{3}{8}$

Вероятность того, что оба раза будут вынуты чёрные шары, равна произведению вероятностей вынуть чёрный шар в первой и во второй попытке:

$P(\text{оба чёрные}) = P(\text{чёрный}) \times P(\text{чёрный}) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}$

Ответ: $\frac{9}{64}$

827. Монету бросают 3 раза. Какова вероятность того, что каждый раз выпадет орёл?

Для решения этой задачи можно использовать классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Сначала определим общее число всех возможных исходов. При каждом броске монеты есть два варианта: может выпасть орёл (О) или решка (Р). Поскольку монету бросают три раза, и результаты каждого броска независимы друг от друга, общее число комбинаций исходов равно произведению числа исходов для каждого броска.

Общее число исходов $n = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Вот все возможные комбинации:
1. Орёл, Орёл, Орёл (ООО)
2. Орёл, Орёл, Решка (ООР)
3. Орёл, Решка, Орёл (ОРО)
4. Орёл, Решка, Решка (ОРР)
5. Решка, Орёл, Орёл (РОО)
6. Решка, Орёл, Решка (РОР)
7. Решка, Решка, Орёл (РРО)
8. Решка, Решка, Решка (РРР)

Теперь определим число благоприятных исходов. Нас интересует событие "каждый раз выпадает орёл". Этому условию соответствует только одна комбинация из восьми: ООО.

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность этого события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{8}$

Также можно решить задачу, используя теорему умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность выпадения орла при одном броске составляет $\frac{1}{2}$. Поскольку все три броска являются независимыми событиями, вероятность того, что орёл выпадет три раза подряд, равна произведению их вероятностей:

$P(\text{три орла}) = P(\text{орёл}) \times P(\text{орёл}) \times P(\text{орёл}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

828. При стрельбе по мишени на полигоне вероятность попадания одного из двух орудий равна 0,8, а другого — 0,75. Оба орудия выстрелили по мишени по одному разу. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Для решения задачи воспользуемся теорией вероятностей. Обозначим события:

Событие $A$ — попадание в мишень из первого орудия. Его вероятность по условию $P(A) = 0,8$.

Событие $B$ — попадание в мишень из второго орудия. Его вероятность по условию $P(B) = 0,75$.

Поскольку выстрелы производятся из разных орудий, эти события являются независимыми.

Мишень будет поражена, если произойдет хотя бы одно попадание. Для решения этой задачи удобнее найти вероятность противоположного события — то есть, что мишень не будет поражена. Мишень не будет поражена только в том случае, если оба орудия промахнутся.

Найдем вероятности промахов для каждого орудия. Промах — это событие, противоположное попаданию, поэтому его вероятность равна $1$ минус вероятность попадания.

Вероятность промаха первого орудия (событие $\bar{A}$):

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Вероятность промаха второго орудия (событие $\bar{B}$):

$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,75 = 0,25$.

Вероятность того, что оба орудия промахнутся, равна произведению вероятностей этих независимых событий:

$P(\text{оба промахнутся}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,2 \cdot 0,25 = 0,05$.

Искомая вероятность того, что мишень будет поражена, является противоположной событию "оба промахнулись". Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно, вероятность поражения мишени равна:

$P(\text{мишень поражена}) = 1 - P(\text{оба промахнутся}) = 1 - 0,05 = 0,95$.

Ответ: 0,95

829. В некоторой настольной игре игрок бросает сразу два кубика и делает столько ходов, какова сумма выпавших очков. Какова вероятность того, что игрок сделает менее 10 ходов?

Для решения этой задачи по теории вероятностей нам нужно определить общее количество исходов и количество благоприятных исходов.

1. Общее количество исходов. Игрок бросает два игральных кубика. На каждом кубике может выпасть число от 1 до 6. Общее количество всех возможных комбинаций при броске двух кубиков равно произведению числа вариантов для каждого кубика: $N = 6 \times 6 = 36$ Все 36 исходов являются равновероятными.

2. Количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором игрок сделает менее 10 ходов. Это значит, что сумма очков на двух кубиках должна быть меньше 10. Вычислить количество таких исходов можно двумя способами.

Способ 1: Прямой подсчет. Мы можем перечислить все пары чисел, сумма которых меньше 10. Однако это довольно долго.

Способ 2: Через противоположное событие. Этот способ обычно проще. Найдем количество исходов, которые нам не подходят (неблагоприятные исходы), и вычтем их из общего числа. Неблагоприятное событие — это когда сумма очков равна 10 или больше (т.е. 10, 11 или 12).

• Сумма равна 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) — всего 3 исхода.
• Сумма равна 11: (5, 6), (6, 5) — всего 2 исхода.
• Сумма равна 12: (6, 6) — всего 1 исход.

Сложим количество неблагоприятных исходов: $m_{небл} = 3 + 2 + 1 = 6$ Теперь найдем количество благоприятных исходов (когда сумма меньше 10), вычитая неблагоприятные из общего числа исходов: $m_{бл} = N - m_{небл} = 36 - 6 = 30$

3. Вычисление вероятности. Вероятность события ($P$) вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m_{бл}}{N} = \frac{30}{36}$ Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6: $P = \frac{30 \div 6}{36 \div 6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

830. В вазе 11 гвоздик, из которых 4 красные. В темноте наугад вынимают 3 гвоздики. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет красной?

Для решения этой задачи удобно сначала найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из единицы.

Пусть событие $A$ — «хотя бы одна из трех вынутых гвоздик будет красной».

Тогда противоположное событие $\bar{A}$ — «ни одна из трех вынутых гвоздик не является красной», то есть все три выбранные гвоздики не красные.

Вероятность события $A$ можно найти по формуле: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Всего в вазе 11 гвоздик. Общее число способов выбрать 3 гвоздики из 11 равно числу сочетаний из 11 по 3. Это общее число всех возможных исходов $n$.

$n = C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 3 = 165$.

Найдем количество не красных гвоздик в вазе. Всего 11 гвоздик, из них 4 красные, значит, не красных:

$11 - 4 = 7$ гвоздик.

Теперь найдем число исходов, благоприятствующих событию $\bar{A}$, то есть число способов выбрать 3 не красные гвоздики из 7 имеющихся. Это число исходов $m$.

$m = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 5 = 35$.

Вероятность события $\bar{A}$ (что все 3 гвоздики не красные) равна:

$P(\bar{A}) = \frac{m}{n} = \frac{35}{165}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P(\bar{A}) = \frac{35 \div 5}{165 \div 5} = \frac{7}{33}$.

Теперь можем найти искомую вероятность события $A$:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{7}{33} = \frac{33}{33} - \frac{7}{33} = \frac{26}{33}$.

Ответ: $\frac{26}{33}$.