Номер 830, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

830. В вазе 11 гвоздик, из которых 4 красные. В темноте наугад вынимают 3 гвоздики. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет красной?

Для решения этой задачи удобно сначала найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из единицы.

Пусть событие $A$ — «хотя бы одна из трех вынутых гвоздик будет красной».

Тогда противоположное событие $\bar{A}$ — «ни одна из трех вынутых гвоздик не является красной», то есть все три выбранные гвоздики не красные.

Вероятность события $A$ можно найти по формуле: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Всего в вазе 11 гвоздик. Общее число способов выбрать 3 гвоздики из 11 равно числу сочетаний из 11 по 3. Это общее число всех возможных исходов $n$.

$n = C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 3 = 165$.

Найдем количество не красных гвоздик в вазе. Всего 11 гвоздик, из них 4 красные, значит, не красных:

$11 - 4 = 7$ гвоздик.

Теперь найдем число исходов, благоприятствующих событию $\bar{A}$, то есть число способов выбрать 3 не красные гвоздики из 7 имеющихся. Это число исходов $m$.

$m = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 5 = 35$.

Вероятность события $\bar{A}$ (что все 3 гвоздики не красные) равна:

$P(\bar{A}) = \frac{m}{n} = \frac{35}{165}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P(\bar{A}) = \frac{35 \div 5}{165 \div 5} = \frac{7}{33}$.

Теперь можем найти искомую вероятность события $A$:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{7}{33} = \frac{33}{33} - \frac{7}{33} = \frac{26}{33}$.

Ответ: $\frac{26}{33}$.