Номер 837, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

837. Найдите наименьшее значение $n$, при котором число $n!$ оканчивается:

а) одним нулём;

б) двумя нулями;

в) тремя нулями.

Количество нулей на конце числа $n!$ определяется количеством множителей 5 в его разложении на простые множители. Это связано с тем, что каждый ноль образуется произведением $2 \times 5$, а множителей 2 в разложении $n!$ всегда больше, чем множителей 5. Количество множителей 5 можно найти по формуле Лежандра:
$Z = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{5^i} \rfloor = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots$
где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$. Наша задача — найти наименьшее $n$ для заданного количества нулей $Z$.

а) одним нулём
Нам нужно найти наименьшее значение $n$, при котором $n!$ оканчивается одним нулём, то есть количество множителей 5 в разложении $n!$ должно быть не меньше одного ($Z \geq 1$).
Используя формулу, получаем: $\lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \dots \geq 1$.
Для наименьшего $n$ достаточно, чтобы первый член был не меньше 1: $\lfloor \frac{n}{5} \rfloor \geq 1$.
Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=5$. При $n=4$ множителей 5 нет ($4!=24$), а при $n=5$ появляется первый множитель 5 ($5!=120$).
Ответ: 5.

б) двумя нулями
Нам нужно найти наименьшее значение $n$, при котором $n!$ оканчивается двумя нулями ($Z \geq 2$).
Количество нулей увеличивается только тогда, когда $n$ является числом, кратным 5.
При $n=5, 6, 7, 8, 9$ в разложении $n!$ есть только один множитель 5 (это само число 5), поэтому $n!$ будет оканчиваться одним нулём.
Следующий множитель 5 появляется при $n=10$. Проверим количество нулей для $n=10$:
$Z = \lfloor \frac{10}{5} \rfloor + \lfloor \frac{10}{25} \rfloor + \dots = 2 + 0 = 2$.
Таким образом, наименьшее $n$, при котором $n!$ оканчивается двумя нулями, равно 10.
Ответ: 10.

в) тремя нулями
Нам нужно найти наименьшее значение $n$, при котором $n!$ оканчивается тремя нулями ($Z \geq 3$).
Мы уже знаем, что при $n=10$ количество нулей равно 2. Для $n$ от 10 до 14 количество нулей не изменится, так как среди чисел 11, 12, 13, 14 нет кратных 5.
Следующий множитель 5 появляется при $n=15$. Проверим количество нулей для $n=15$:
$Z = \lfloor \frac{15}{5} \rfloor + \lfloor \frac{15}{25} \rfloor + \dots = 3 + 0 = 3$.
Таким образом, наименьшее $n$, при котором $n!$ оканчивается тремя нулями, равно 15.
Ответ: 15.