Номер 841, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

841. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных;

б) старосту и помощника старосты?

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы комбинаторики. Всего в классе 24 учащихся, то есть $n=24$.

а) двух дежурных;

При выборе двух дежурных порядок не имеет значения. Если выбрать ученика А и ученика Б, это та же самая пара дежурных, что и ученик Б и ученик А. Следовательно, мы должны найти число сочетаний из 24 элементов по 2.

Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n = 24$ и $k = 2$. Подставляем значения в формулу:

$C_{24}^2 = \frac{24!}{2!(24-2)!} = \frac{24!}{2! \cdot 22!} = \frac{24 \cdot 23}{2 \cdot 1} = 12 \cdot 23 = 276$

Таким образом, существует 276 способов выбрать двух дежурных.

Ответ: 276.

б) старосту и помощника старосты?

При выборе старосты и его помощника порядок важен, так как это две разные должности. Если ученик А — староста, а ученик Б — помощник, это один вариант, а если ученик Б — староста, а ученик А — помощник, это уже другой вариант. Следовательно, мы должны найти число размещений из 24 элементов по 2.

Формула для числа размещений из $n$ по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n = 24$ и $k = 2$. Подставляем значения в формулу:

$A_{24}^2 = \frac{24!}{(24-2)!} = \frac{24!}{22!} = 24 \cdot 23 = 552$

Можно рассуждать и по-другому: старосту можно выбрать 24 способами. После этого помощника старосты можно выбрать из оставшихся 23 учеников. По правилу умножения, общее число способов равно: $24 \cdot 23 = 552$.

Ответ: 552.