Номер 846, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

846. В 9 «А» классе учатся 25 учащихся, в 9 «Б» — 20 учащихся, а в 9 «В» — 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «А», двух — из 9 «Б» и одного — из 9 «В». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке? $\binom{25}{3} \cdot \binom{20}{2} \cdot \binom{18}{1}$

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбора учащихся из каждого класса отдельно, а затем, по правилу произведения в комбинаторике, перемножить эти количества, чтобы найти общее число способов. Так как порядок выбора учеников внутри группы не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Сначала найдем количество способов выбрать 3 учащихся из 25 в 9 «А» классе. Это число сочетаний из 25 по 3:
$C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 25 \times 4 \times 23 = 2300$ способов.

Затем найдем количество способов выбрать 2 учащихся из 20 в 9 «Б» классе. Это число сочетаний из 20 по 2:
$C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190$ способов.

Далее, найдем количество способов выбрать 1 учащегося из 18 в 9 «В» классе. Это число сочетаний из 18 по 1:
$C_{18}^1 = \frac{18!}{1!(18-1)!} = \frac{18!}{1!17!} = \frac{18}{1} = 18$ способов.

Наконец, чтобы найти общее количество способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке, перемножим количество способов для каждого класса:
$N = 2300 \times 190 \times 18 = 437000 \times 18 = 7 866 000$.

Ответ: 7 866 000.