Номер 850, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

850. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трёхзначные числа (допускается повторение цифр). Сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:

a) 3;

б) 4;

в) 6?

По условию задачи, мы составляем трёхзначные числа из цифр {1, 2, 3, 4, 5}. Это означает, что каждая из трёх цифр числа (сотни, десятки, единицы) может быть любой из этих пяти цифр, причём повторения допускаются. Нам нужно найти количество таких чисел, у которых сумма цифр равна заданному значению.

а) Найдём количество чисел, сумма цифр которых равна 3.

Пусть трёхзначное число состоит из цифр $a, b, c$. Каждая из этих цифр может быть 1, 2, 3, 4 или 5. Нам нужно найти количество решений уравнения $a + b + c = 3$.

Поскольку наименьшая возможная цифра — это 1, то наименьшая возможная сумма трёх цифр равна $1 + 1 + 1 = 3$.

Это единственная комбинация цифр, которая даёт в сумме 3. То есть, все три цифры должны быть равны 1. Из этих цифр можно составить только одно трёхзначное число: 111.

Ответ: 1.

б) Найдём количество чисел, сумма цифр которых равна 4.

Нам нужно найти количество решений уравнения $a + b + c = 4$ с цифрами из набора {1, 2, 3, 4, 5}.

Рассмотрим возможные наборы из трёх цифр (без учёта порядка), которые в сумме дают 4:

• Если одна из цифр 2, то сумма двух других должна быть $4 - 2 = 2$. Это возможно, только если обе другие цифры равны 1. Получаем набор цифр {1, 1, 2}.
• Если использовать цифру 3, то сумма двух других должна быть $4 - 3 = 1$, что невозможно, так как минимальная сумма двух цифр из данного набора равна $1 + 1 = 2$.

Таким образом, единственно возможный набор цифр — это {1, 1, 2}. Теперь найдём, сколько различных трёхзначных чисел можно составить из этих цифр. Это задача на перестановки с повторениями.

Возможные числа: 112, 121, 211.

Всего 3 таких числа. Это можно рассчитать по формуле перестановок с повторениями: $\frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: 3.

в) Найдём количество чисел, сумма цифр которых равна 6.

Нам нужно найти количество решений уравнения $a + b + c = 6$ с цифрами из набора {1, 2, 3, 4, 5}.

Рассмотрим возможные наборы из трёх цифр (без учёта порядка), которые в сумме дают 6:

• Набор {1, 1, 4}. Сумма: $1 + 1 + 4 = 6$.
• Набор {1, 2, 3}. Сумма: $1 + 2 + 3 = 6$.
• Набор {2, 2, 2}. Сумма: $2 + 2 + 2 = 6$.

Других наборов нет. Например, если использовать цифру 5, то сумма двух других должна быть $6 - 5 = 1$, что невозможно. Если самая большая цифра в наборе 4, то остальные две должны в сумме давать 2, что возможно только как $1+1$ (набор {1, 1, 4}). Если самая большая цифра 3, то остальные две в сумме дают 3, что возможно как $1+2$ (набор {1, 2, 3}). Если все цифры не больше 2, то единственный вариант — это $2+2+2$.

Теперь для каждого набора посчитаем количество различных чисел (перестановок), которые можно составить:

1. Для набора {1, 1, 4}: это перестановки с повторениями. Количество чисел равно $\frac{3!}{2!} = 3$. Это числа 114, 141, 411.
2. Для набора {1, 2, 3}: все цифры различны. Количество чисел равно $3! = 6$. Это числа 123, 132, 213, 231, 312, 321.
3. Для набора {2, 2, 2}: все цифры одинаковы. Количество чисел равно $\frac{3!}{3!} = 1$. Это число 222.

Общее количество чисел равно сумме количеств для каждого набора: $3 + 6 + 1 = 10$.

Ответ: 10.