Номер 849, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

849. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трёх старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Задача сводится к двум независимым выборам: выбор ведущих сотрудников и выбор старших сотрудников. Общее количество способов будет равно произведению числа способов для каждого из этих выборов.

1. Выбор ведущих научных сотрудников.

Нужно выбрать 2 ведущих сотрудников из 5 имеющихся. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

Число способов выбрать 2 ведущих сотрудника из 5:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.

2. Выбор старших научных сотрудников.

Нужно выбрать 3 старших сотрудников из 8 имеющихся. Аналогично используем формулу для числа сочетаний.

Число способов выбрать 3 старших сотрудника из 8:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ способов.

3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов сформировать группу для командировки, нужно перемножить количество способов выбора ведущих сотрудников на количество способов выбора старших сотрудников (согласно правилу произведения в комбинаторике):

$N = C_5^2 \times C_8^3 = 10 \times 56 = 560$ способов.

Ответ: 560.