Номер 855, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе 5. Глава 5. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 855, страница 218.

855. Решите уравнение:

а) $14C_n^{n-2} = 15A_{n-3}^2;$

б) $6C_n^{n-3} = 11A_{n-1}^2;$

в) $13C_{2n}^{n+1} = 7C_{2n+1}^{n-1};$

г) $21C_{2n}^{n+1} = 11C_{2n+1}^{n-1}.$

а) $14C_n^{n-2} = 15A_{n-3}^2$

Для решения уравнения воспользуемся определениями числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Выразим члены уравнения через $n$:

$C_n^{n-2} = \frac{n!}{(n-2)!(n-(n-2))!} = \frac{n!}{(n-2)!2!} = \frac{n(n-1)}{2}$

$A_{n-3}^2 = \frac{(n-3)!}{(n-3-2)!} = \frac{(n-3)!}{(n-5)!} = (n-3)(n-4)$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условий существования сочетаний и размещений: $n$ должно быть целым числом, $n-2 \ge 0$ (т.е. $n \ge 2$) и $n-3 \ge 2$ (т.е. $n \ge 5$). Итоговое ОДЗ: $n \ge 5$.

Подставим выражения в исходное уравнение:

$14 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 15(n-3)(n-4)$

Упростим и решим полученное уравнение:

$7n(n-1) = 15(n^2 - 7n + 12)$

$7n^2 - 7n = 15n^2 - 105n + 180$

$8n^2 - 98n + 180 = 0$

Разделим обе части на 2:

$4n^2 - 49n + 90 = 0$

Дискриминант квадратного уравнения $D = (-49)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 90 = 2401 - 1440 = 961 = 31^2$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{49+31}{8} = 10$, $n_2 = \frac{49-31}{8} = \frac{18}{8} = 2.25$.

Согласно ОДЗ ($n \ge 5$ и $n$ - целое), корень $n_2=2.25$ не подходит. Корень $n_1=10$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $n=10$.

---

б) $6C_n^{n-3} = 11A_{n-1}^2$

Выразим $C_n^{n-3}$ и $A_{n-1}^2$ через $n$:

$C_n^{n-3} = \frac{n!}{(n-3)!(n-(n-3))!} = \frac{n!}{(n-3)!3!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

$A_{n-1}^2 = \frac{(n-1)!}{(n-1-2)!} = \frac{(n-1)!}{(n-3)!} = (n-1)(n-2)$

ОДЗ: $n \in \mathbb{Z}$, $n-3 \ge 0$ (т.е. $n \ge 3$) и $n-1 \ge 2$ (т.е. $n \ge 3$). Итоговое ОДЗ: $n \ge 3$.

Подставим выражения в уравнение:

$6 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 11(n-1)(n-2)$

$n(n-1)(n-2) = 11(n-1)(n-2)$

Поскольку в ОДЗ $n \ge 3$, то множители $(n-1)$ и $(n-2)$ не равны нулю. Можем разделить обе части уравнения на $(n-1)(n-2)$:

$n = 11$

Корень $n=11$ удовлетворяет ОДЗ ($11 \ge 3$).

Ответ: $n=11$.

---

в) $13C_{2n}^{n+1} = 7C_{2n+1}^{n-1}$

Выразим члены уравнения через $n$, используя формулу $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{2n}^{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)!(2n-(n+1))!} = \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}$

$C_{2n+1}^{n-1} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(2n+1-(n-1))!} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

ОДЗ: $n \in \mathbb{Z}$, $2n \ge n+1 \implies n \ge 1$, и $n-1 \ge 0 \implies n \ge 1$. Итоговое ОДЗ: $n \ge 1$.

Подставим выражения в уравнение:

$13 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 7 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

Используем свойства факториала $(k+1)! = (k+1)k!$ для упрощения:

$13 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 7 \cdot \frac{(2n+1)(2n)!}{(n-1)!(n+2)(n+1)!}$

Сократим общие ненулевые множители $\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}$:

$13 = 7 \cdot \frac{2n+1}{n+2}$

Решим полученное линейное уравнение:

$13(n+2) = 7(2n+1)$

$13n + 26 = 14n + 7$

$14n - 13n = 26 - 7$

$n = 19$

Корень $n=19$ удовлетворяет ОДЗ ($19 \ge 1$).

Ответ: $n=19$.

---

г) $21C_{2n}^{n+1} = 11C_{2n+1}^{n-1}$

Данное уравнение имеет ту же структуру, что и в пункте в). Выражения для $C_{2n}^{n+1}$ и $C_{2n+1}^{n-1}$ и ОДЗ ($n \ge 1$, $n \in \mathbb{Z}$) остаются теми же.

Подставляем выражения в уравнение:

$21 \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 11 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

После упрощения и сокращения общих множителей, как в предыдущем пункте, получаем:

$21 = 11 \cdot \frac{2n+1}{n+2}$

Решим уравнение:

$21(n+2) = 11(2n+1)$

$21n + 42 = 22n + 11$

$22n - 21n = 42 - 11$

$n = 31$

Корень $n=31$ удовлетворяет ОДЗ ($31 \ge 1$).

Ответ: $n=31$.