Номер 862, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

862. В ящике лежит 6 красных шаров и 4 зелёных. Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 2 шара из них окажутся красными, а один — зелёным?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов: $P = \frac{m}{n}$.

1. Найдем общее число возможных исходов (n).

В ящике находится $6 + 4 = 10$ шаров. Нам нужно выбрать 3 шара из этих 10. Поскольку порядок выбора шаров не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов выбрать 3 шара из 10 равно:

$n = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

Таким образом, существует 120 различных способов вынуть 3 шара из ящика.

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Благоприятным для нас является исход, когда вынуты 2 красных шара и 1 зелёный шар.

Число способов выбрать 2 красных шара из 6 имеющихся красных шаров:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Число способов выбрать 1 зелёный шар из 4 имеющихся зелёных шаров:

$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$.

Чтобы найти общее число благоприятных исходов, нужно перемножить число способов выбора красных шаров и число способов выбора зелёных шаров (согласно правилу произведения в комбинаторике):

$m = C_6^2 \times C_4^1 = 15 \times 4 = 60$.

Итак, существует 60 способов выбрать 2 красных и 1 зелёный шар.

3. Вычислим вероятность.

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$