Номер 865, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

865. На каждой карточке написана одна из букв «о», «п», «р», «с», «т». Несколько карточек наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании:

a) 3 карточек получится слово «рот»;

б) 4 карточек получится слово «сорт»;

в) 5 карточек получится слово «спорт»?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов. В данном случае у нас есть 5 уникальных карточек с буквами: О, П, Р, С, Т. Карточки выкладываются в ряд, что означает, что порядок их следования важен. Это задачи на размещения без повторений.

а) 3 карточек получится слово «рот»

Сначала найдем общее число возможных исходов. Мы выбираем 3 карточки из 5 и располагаем их в определенном порядке. Число таких способов (размещений) вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

В нашем случае $n=5$ и $k=3$. Общее число исходов: $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Таким образом, существует 60 способов составить трехбуквенное слово из данных 5 букв. Благоприятный исход — это получение слова «рот». Это только одна конкретная последовательность букв (Р, затем О, затем Т). Следовательно, число благоприятных исходов равно 1.

Вероятность этого события: $P = \frac{1}{60}$.

Ответ: $\frac{1}{60}$

б) 4 карточек получится слово «сорт»

Теперь мы выкладываем 4 карточки из 5. Общее число возможных исходов — это число размещений из 5 по 4.

$n = A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Существует 120 способов составить четырехбуквенное слово из данных 5 букв. Благоприятный исход — это получение слова «сорт». Это одна единственная комбинация. Число благоприятных исходов равно 1.

Вероятность этого события: $P = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$

в) 5 карточек получится слово «спорт»

Мы выкладываем все 5 имеющихся карточек. Общее число возможных исходов — это число перестановок из 5 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.

$n = P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Существует 120 способов переставить 5 карточек. Благоприятный исход — это получение слова «спорт». Это одна конкретная перестановка. Число благоприятных исходов равно 1.

Вероятность этого события: $P = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$