Страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

859. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25.
Какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет:

а) однозначный номер;

б) двузначный номер?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$.

Формула вероятности: $P = \frac{m}{n}$.

Всего для экзамена подготовили 25 билетов с номерами от 1 до 25. Следовательно, общее число равновозможных исходов $n=25$.

а) однозначный номер;
Найдем количество билетов с однозначными номерами. Это билеты с номерами от 1 до 9 включительно. Перечислим их: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию «взять билет с однозначным номером», равно $m=9$.
Теперь вычислим вероятность этого события:
$P(А) = \frac{m}{n} = \frac{9}{25}$
Эту вероятность можно также выразить в виде десятичной дроби: $\frac{9}{25} = 0,36$.
Ответ: $\frac{9}{25}$.

б) двузначный номер?
Найдем количество билетов с двузначными номерами. Это билеты с номерами от 10 до 25 включительно. Количество таких билетов можно найти двумя способами:
1. Из общего количества билетов вычесть количество билетов с однозначными номерами: $25 - 9 = 16$.
2. Напрямую посчитать количество чисел в диапазоне от 10 до 25: $25 - 10 + 1 = 16$.
Итак, число исходов, благоприятствующих событию «взять билет с двузначным номером», равно $m=16$.
Вычислим вероятность этого события:
$P(Б) = \frac{m}{n} = \frac{16}{25}$
В виде десятичной дроби эта вероятность равна: $\frac{16}{25} = 0,64$.
Ответ: $\frac{16}{25}$.

860. Из ящика, в котором находятся шары с номерами от 1 до 100, наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не имеет цифры 6?

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае общее число исходов $N$ — это количество шаров в ящике. Поскольку шары пронумерованы от 1 до 100, всего в ящике 100 шаров. $N = 100$.

Благоприятный исход — это извлечение шара, номер которого не содержит цифру 6. Найдем количество таких шаров $M$. Проще всего сначала посчитать количество чисел от 1 до 100, в записи которых есть цифра 6, а затем вычесть это количество из общего числа шаров.

Выпишем все числа от 1 до 100, содержащие цифру 6:

• Числа, в которых цифра 6 находится в разряде единиц: 6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96. Таких чисел 10.
• Числа, в которых цифра 6 находится в разряде десятков: 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69. Таких чисел тоже 10.

Число 66 было учтено в обоих списках, поэтому, чтобы найти общее количество уникальных чисел с цифрой 6, нужно сложить количества и вычесть 1 (так как 66 посчитано дважды): $10 + 10 - 1 = 19$. Итак, 19 шаров имеют в своем номере цифру 6.

Теперь можем найти количество благоприятных исходов $M$ — число шаров, в номере которых нет цифры 6: $M = N - 19 = 100 - 19 = 81$.

Наконец, вычисляем искомую вероятность: $P = \frac{M}{N} = \frac{81}{100} = 0,81$.

Ответ: $0,81$

861. В мешке находятся жетоны с номерами от 1 до 15. Из мешка наугад вынимают один жетон. Какова вероятность того, что номер вынутого жетона не делится ни на 2, ни на 3?

В мешке находятся жетоны с номерами от 1 до 15. Это означает, что общее число равновозможных исходов при вынимании одного жетона равно 15. Обозначим это общее число исходов как $N=15$.

Нам необходимо найти вероятность того, что номер вынутого жетона не делится ни на 2, ни на 3. Такие исходы называются благоприятными. Для этого найдем количество таких жетонов.

Выпишем все номера жетонов от 1 до 15: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Теперь определим, какие из этих чисел делятся на 2 или на 3.

• Числа, которые делятся на 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.
• Числа, которые делятся на 3: 3, 6, 9, 12, 15.

Благоприятные исходы — это номера, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Мы можем найти их, исключив из общего списка все числа, которые делятся на 2 или на 3.

Числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3: 1, 5, 7, 11, 13.

Подсчитаем количество этих чисел. Всего получилось 5 благоприятных исходов. Обозначим это количество как $M=5$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $M$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

Подставим найденные значения в формулу: $P = \frac{5}{15}$

Сократим полученную дробь: $P = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

862. В ящике лежит 6 красных шаров и 4 зелёных. Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 2 шара из них окажутся красными, а один — зелёным?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов: $P = \frac{m}{n}$.

1. Найдем общее число возможных исходов (n).

В ящике находится $6 + 4 = 10$ шаров. Нам нужно выбрать 3 шара из этих 10. Поскольку порядок выбора шаров не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов выбрать 3 шара из 10 равно:

$n = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

Таким образом, существует 120 различных способов вынуть 3 шара из ящика.

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Благоприятным для нас является исход, когда вынуты 2 красных шара и 1 зелёный шар.

Число способов выбрать 2 красных шара из 6 имеющихся красных шаров:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Число способов выбрать 1 зелёный шар из 4 имеющихся зелёных шаров:

$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$.

Чтобы найти общее число благоприятных исходов, нужно перемножить число способов выбора красных шаров и число способов выбора зелёных шаров (согласно правилу произведения в комбинаторике):

$m = C_6^2 \times C_4^1 = 15 \times 4 = 60$.

Итак, существует 60 способов выбрать 2 красных и 1 зелёный шар.

3. Вычислим вероятность.

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

863. Из 28 костей домино извлекают наугад 2 кости. Какова вероятность того, что обе кости окажутся дупля-ми?

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = m/n$, где $n$ — это общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Событие $A$ в данном случае — извлечение двух костей домино, которые обе являются дуплями.

1. Сначала найдем общее число возможных исходов $n$. Это количество способов выбрать 2 кости из 28. Так как порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае общее количество костей $n = 28$, а мы извлекаем $k = 2$ кости. $n = C_{28}^2 = \frac{28!}{2!(28-2)!} = \frac{28!}{2! \cdot 26!} = \frac{26! \cdot 27 \cdot 28}{2 \cdot 1 \cdot 26!} = \frac{27 \cdot 28}{2} = 27 \cdot 14 = 378$. Итак, общее число способов извлечь 2 кости из 28 равно 378.

2. Теперь найдем число благоприятствующих исходов $m$. Благоприятствующий исход — это когда обе извлеченные кости являются дуплями. В стандартном наборе домино (28 костей) есть 7 дуплей: 0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6. Нам нужно найти количество способов выбрать 2 дупля из этих 7. Снова применяем формулу сочетаний, где общее количество дуплей $n=7$, а выбираем мы $k=2$.

$m = C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$. Таким образом, существует 21 способ выбрать 2 дупля.

3. Наконец, вычислим искомую вероятность как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов.

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{21}{378}$.

Сократим полученную дробь. Заметим, что $378 = 18 \cdot 21$.

$P(A) = \frac{21}{378} = \frac{21}{18 \cdot 21} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$

864. Из 40 деталей, лежащих в ящике, 3 бракованные. Из ящика наугад вынимают одну деталь. Какова вероятность того, что эта деталь окажется без брака?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Обозначим через $n$ общее число всех равновозможных исходов. В данном случае это общее количество деталей в ящике.$n = 40$.

Обозначим через $m$ число благоприятных исходов. Благоприятным исходом является извлечение детали без брака. Чтобы найти это число, нужно из общего количества деталей вычесть количество бракованных деталей.

$m = 40 - 3 = 37$.

Таким образом, в ящике находится 37 деталей без брака.

Теперь можем вычислить вероятность $P$ того, что вынутая деталь окажется без брака, по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

Подставим наши значения:

$P = \frac{37}{40}$

Эту вероятность можно также представить в виде десятичной дроби:

$P = 0,925$

Ответ: $\frac{37}{40}$

865. На каждой карточке написана одна из букв «о», «п», «р», «с», «т». Несколько карточек наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании:

a) 3 карточек получится слово «рот»;

б) 4 карточек получится слово «сорт»;

в) 5 карточек получится слово «спорт»?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов. В данном случае у нас есть 5 уникальных карточек с буквами: О, П, Р, С, Т. Карточки выкладываются в ряд, что означает, что порядок их следования важен. Это задачи на размещения без повторений.

а) 3 карточек получится слово «рот»

Сначала найдем общее число возможных исходов. Мы выбираем 3 карточки из 5 и располагаем их в определенном порядке. Число таких способов (размещений) вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

В нашем случае $n=5$ и $k=3$. Общее число исходов: $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Таким образом, существует 60 способов составить трехбуквенное слово из данных 5 букв. Благоприятный исход — это получение слова «рот». Это только одна конкретная последовательность букв (Р, затем О, затем Т). Следовательно, число благоприятных исходов равно 1.

Вероятность этого события: $P = \frac{1}{60}$.

Ответ: $\frac{1}{60}$

б) 4 карточек получится слово «сорт»

Теперь мы выкладываем 4 карточки из 5. Общее число возможных исходов — это число размещений из 5 по 4.

$n = A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Существует 120 способов составить четырехбуквенное слово из данных 5 букв. Благоприятный исход — это получение слова «сорт». Это одна единственная комбинация. Число благоприятных исходов равно 1.

Вероятность этого события: $P = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$

в) 5 карточек получится слово «спорт»

Мы выкладываем все 5 имеющихся карточек. Общее число возможных исходов — это число перестановок из 5 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.

$n = P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Существует 120 способов переставить 5 карточек. Благоприятный исход — это получение слова «спорт». Это одна конкретная перестановка. Число благоприятных исходов равно 1.

Вероятность этого события: $P = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$

866. В коробке находятся шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Из коробки наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что сумма номеров на них равна:

а) 3;

б) 5?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных элементарных исходов $n$: $P = \frac{m}{n}$.

В коробке находятся 5 шаров с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Из нее наугад вынимают два шара. Поскольку порядок, в котором вынимают шары, не имеет значения, общее число исходов $n$ равно числу сочетаний из 5 элементов по 2.

Рассчитаем общее число элементарных исходов $n$ по формуле числа сочетаний:

$n = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Таким образом, существует 10 различных пар шаров, которые можно вынуть из коробки. Вот все возможные исходы: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5).

а)

Найдем вероятность того, что сумма номеров на вынутых шарах равна 3. Назовем это событие A.

Для этого определим количество благоприятствующих исходов $m_a$. Нам нужно найти пары чисел из набора {1, 2, 3, 4, 5}, сумма которых равна 3.

Единственная пара, удовлетворяющая этому условию, — это (1, 2), поскольку $1 + 2 = 3$.

Следовательно, число благоприятствующих исходов $m_a = 1$.

Теперь можем вычислить вероятность события A:

$P(A) = \frac{m_a}{n} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

б)

Найдем вероятность того, что сумма номеров на вынутых шарах равна 5. Назовем это событие B.

Определим количество благоприятствующих исходов $m_b$. Нам нужно найти пары чисел из набора {1, 2, 3, 4, 5}, сумма которых равна 5.

Этому условию удовлетворяют две пары:

1. Пара (1, 4), так как $1 + 4 = 5$.

2. Пара (2, 3), так как $2 + 3 = 5$.

Таким образом, число благоприятствующих исходов $m_b = 2$.

Теперь можем вычислить вероятность события B:

$P(B) = \frac{m_b}{n} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

867. В коробке находится 12 шаров, среди которых $n$ белых, а остальные цветные. Вероятность того, что вынутый наугад шар окажется белым, равна $\frac{1}{6}$. Сколько белых шаров в коробке?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Обозначим:

• Общее число шаров в коробке — $N$. По условию $N = 12$. Это общее число всех возможных исходов.
• Число белых шаров в коробке — $n$. Это число благоприятных исходов (событие "вытянули белый шар").

Вероятность $P$ того, что вынутый наугад шар окажется белым, вычисляется по формуле: $P(\text{белый}) = \frac{\text{число белых шаров}}{\text{общее число шаров}} = \frac{n}{N}$

По условию задачи, вероятность вынуть белый шар равна $\frac{1}{6}$. Подставим известные значения в формулу: $\frac{n}{12} = \frac{1}{6}$

Чтобы найти $n$, решим это уравнение. Умножим обе части уравнения на 12: $n = \frac{1}{6} \cdot 12$ $n = \frac{12}{6}$ $n = 2$

Следовательно, в коробке находится 2 белых шара.

Ответ: 2

868. В мешке содержится 24 шара. Среди них красных шаров в 2 раза больше, чем белых, а остальные шары синие. Вероятность того, что вынутый наугад шар окажется белым, равна $\frac{1}{8}$. Найдите вероятность того, что вынутый наугад шар окажется синим.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $N$ – общее количество шаров в мешке, $N = 24$.
• $W$ – количество белых шаров.
• $R$ – количество красных шаров.
• $B$ – количество синих шаров.

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Вероятность вынуть белый шар $P(W)$ дается по условию: $P(W) = \frac{W}{N} = \frac{1}{8}$

Используя это соотношение, мы можем найти количество белых шаров в мешке. Подставим известное значение $N=24$: $\frac{W}{24} = \frac{1}{8}$ Чтобы найти $W$, умножим обе части уравнения на 24: $W = \frac{1}{8} \cdot 24 = \frac{24}{8} = 3$ Таким образом, в мешке 3 белых шара.

Согласно условию, красных шаров в 2 раза больше, чем белых: $R = 2 \cdot W$ Подставим найденное значение $W=3$: $R = 2 \cdot 3 = 6$ Следовательно, в мешке 6 красных шаров.

Все остальные шары — синие. Общее количество шаров является суммой шаров всех цветов: $N = W + R + B$ Подставим известные значения: $24 = 3 + 6 + B$ $24 = 9 + B$ Отсюда найдем количество синих шаров: $B = 24 - 9 = 15$ В мешке 15 синих шаров.

Теперь мы можем найти вероятность того, что вынутый наугад шар окажется синим. Эта вероятность $P(B)$ равна отношению количества синих шаров к общему количеству шаров: $P(B) = \frac{B}{N} = \frac{15}{24}$

Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для 15 и 24 равен 3: $P(B) = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$

Ответ: $\frac{5}{8}$

869. В мешке содержатся жетоны с номерами от 1 до 50 включительно. Какова вероятность того, что в номере извлечённого наугад из мешка жетона цифра 3 содержится только один раз?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Общее число всех возможных исходов равно количеству жетонов в мешке. Поскольку жетоны пронумерованы от 1 до 50 включительно, общее число исходов $N = 50$.

Теперь найдём число благоприятных исходов. Благоприятным исходом является извлечение жетона, в номере которого цифра 3 встречается ровно один раз. Перечислим все такие числа в диапазоне от 1 до 50:

1. Числа, у которых цифра 3 находится в разряде единиц: 3, 13, 23, 43. Таких чисел 4. Число 33 не учитываем, так как в нём цифра 3 встречается дважды.

2. Числа, у которых цифра 3 находится в разряде десятков: 30, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39. Таких чисел 9.

Следовательно, общее число благоприятных исходов $M$ равно сумме количеств чисел в этих двух группах: $M = 4 + 9 = 13$.

Вероятность $P$ наступления данного события вычисляется по формуле:

$P = \frac{M}{N} = \frac{13}{50}$

Переведём полученную дробь в десятичный вид, для чего умножим числитель и знаменатель на 2:

$P = \frac{13 \times 2}{50 \times 2} = \frac{26}{100} = 0.26$

Ответ: 0.26