Страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

889. а) Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_2 = -6, a_3 = -2$.

б) Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии $(x_n)$, если $x_2 = -2,4$ и $d = 1,2$.

а)

Для нахождения пятнадцатого члена арифметической прогрессии $(a_n)$ необходимо сначала определить ее первый член $a_1$ и разность $d$.

1. Найдем разность прогрессии $d$, используя известные второй и третий члены прогрессии: $a_2 = -6$ и $a_3 = -2$.

Разность арифметической прогрессии вычисляется по формуле $d = a_{n+1} - a_n$.

$d = a_3 - a_2 = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$.

2. Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_2 = a_1 + d$. Выразим отсюда $a_1$:

$a_1 = a_2 - d = -6 - 4 = -10$.

3. Теперь, зная $a_1$ и $d$, мы можем найти любой член прогрессии, включая пятнадцатый, по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим $n=15$, $a_1=-10$ и $d=4$:

$a_{15} = -10 + (15-1) \cdot 4 = -10 + 14 \cdot 4 = -10 + 56 = 46$.

Ответ: $46$.

б)

Для нахождения суммы первых десяти членов арифметической прогрессии $(x_n)$ необходимо знать ее первый член $x_1$ и разность $d$. Нам даны $x_2 = -2,4$ и $d = 1,2$.

1. Сначала найдем первый член прогрессии $x_1$. Используем формулу $x_2 = x_1 + d$ и выразим из нее $x_1$:

$x_1 = x_2 - d = -2,4 - 1,2 = -3,6$.

2. Теперь воспользуемся формулой для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2x_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим в эту формулу наши значения: $n=10$, $x_1 = -3,6$ и $d = 1,2$.

$S_{10} = \frac{2 \cdot (-3,6) + 1,2 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{-7,2 + 1,2 \cdot 9}{2} \cdot 10$.

$S_{10} = \frac{-7,2 + 10,8}{2} \cdot 10 = \frac{3,6}{2} \cdot 10$.

$S_{10} = 1,8 \cdot 10 = 18$.

Ответ: $18$.

890. Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 = -\frac{1}{32}$, $b_3 = \frac{1}{16}$.

Для решения задачи необходимо найти знаменатель геометрической прогрессии $q$, а затем использовать его для вычисления двенадцатого члена $b_{12}$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти, разделив любой член прогрессии на предшествующий ему член. В данном случае мы можем найти $q$, разделив $b_3$ на $b_2$:

$q = \frac{b_3}{b_2}$

Подставим известные значения $b_2 = -\frac{1}{32}$ и $b_3 = \frac{1}{16}$:

$q = \frac{\frac{1}{16}}{-\frac{1}{32}} = \frac{1}{16} \cdot \left(-\frac{32}{1}\right) = -\frac{32}{16} = -2$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти двенадцатый член прогрессии, используя формулу n-го члена $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Мы можем выразить $b_{12}$ через известный член $b_2$ (или $b_3$). Давайте используем $b_2$:

$b_{12} = b_2 \cdot q^{12-2} = b_2 \cdot q^{10}$

Подставим значения $b_2 = -\frac{1}{32}$ и $q = -2$:

$b_{12} = \left(-\frac{1}{32}\right) \cdot (-2)^{10}$

Представим $32$ как степень двойки: $32 = 2^5$. Поскольку показатель степени 10 является четным числом, $(-2)^{10} = 2^{10}$.

$b_{12} = \left(-\frac{1}{2^5}\right) \cdot 2^{10} = -\frac{2^{10}}{2^5}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$b_{12} = -2^{10-5} = -2^5$

Вычислим полученное значение:

$b_{12} = -32$

Ответ: -32

891. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии $(x_n)$, если $x_2 = -32$ и $q = -\frac{1}{2}$.

Для нахождения суммы первых десяти членов геометрической прогрессии $(x_n)$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$ или эквивалентной ей $S_n = \frac{x_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

В условии задачи даны второй член прогрессии $x_2 = -32$ и ее знаменатель $q = -\frac{1}{2}$. Для расчета суммы нам необходим первый член прогрессии $x_1$.

Найдем $x_1$, используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Для $n=2$ имеем:

$x_2 = x_1 \cdot q^{2-1} = x_1 \cdot q$

Подставим известные значения:

$-32 = x_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

Выразим и найдем $x_1$:

$x_1 = \frac{-32}{-\frac{1}{2}} = -32 \cdot (-2) = 64$

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета суммы первых десяти членов ($n=10$):

• $x_1 = 64$
• $q = -\frac{1}{2}$
• $n = 10$

Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{x_1(1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{64 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}$

Проведем вычисления по шагам. Сначала вычислим $q^{10}$:

$\left(-\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{(-1)^{10}}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

Теперь вычислим числитель и знаменатель дроби в формуле суммы:

Числитель: $64 \cdot \left(1 - \frac{1}{1024}\right) = 64 \cdot \left(\frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}\right) = 64 \cdot \frac{1023}{1024}$

Знаменатель: $1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$S_{10} = \frac{64 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}} = \left(64 \cdot \frac{1023}{1024}\right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{64 \cdot 1023 \cdot 2}{1024 \cdot 3}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что $1024 = 64 \cdot 16$ и $1023 = 3 \cdot 341$:

$S_{10} = \frac{64 \cdot (3 \cdot 341) \cdot 2}{(64 \cdot 16) \cdot 3} = \frac{341 \cdot 2}{16} = \frac{341}{8}$

Полученный результат можно представить в виде смешанного числа $42\frac{5}{8}$ или десятичной дроби $42.625$.

Ответ: $\frac{341}{8}$

892. Найдите значение выражения:

а) $\frac{20!}{18!};$

б) $\frac{7!}{10!};$

в) $\frac{50!}{49!};$

г) $\frac{10!}{5! \cdot 5!};$

д) $\frac{12!}{9! \cdot 3!}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{20!}{18!}$, воспользуемся определением факториала: $n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1$. Заметим, что $20!$ можно представить как произведение $20 \cdot 19 \cdot 18!$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{20!}{18!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{18!}$
Теперь можно сократить $18!$ в числителе и знаменателе. В результате получим:
$20 \cdot 19 = 380$.
Ответ: 380

б) Рассмотрим выражение $\frac{7!}{10!}$. В данном случае больший факториал находится в знаменателе. Распишем $10!$ как $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$.
Подставим это в выражение:
$\frac{7!}{10!} = \frac{7!}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}$
Сократим $7!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{1}{720}$.
Ответ: $\frac{1}{720}$

в) Найдем значение выражения $\frac{50!}{49!}$. Аналогично пункту а), представим $50!$ как $50 \cdot 49!$.
$\frac{50!}{49!} = \frac{50 \cdot 49!}{49!}$
Сокращаем $49!$ и получаем:
$50$.
Ответ: 50

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{10!}{5! \cdot 5!}$, распишем числитель до ближайшего факториала в знаменателе, то есть до $5!$:
$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$
Теперь подставим это в дробь:
$\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5!}$
Распишем $5!$ в знаменателе: $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
$\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Произведем сокращение дроби:
$\frac{10}{5 \cdot 2} = 1$; $\frac{8}{4} = 2$; $\frac{9}{3} = 3$.
В результате получаем произведение оставшихся множителей:
$3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 6 = 252$.
Ответ: 252

д) Найдем значение выражения $\frac{12!}{9! \cdot 3!}$. Распишем $12!$ как $12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!$.
$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 3!}$
Сократим $9!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3!}$
Распишем $3!$ в знаменателе: $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6}$
Сократим 12 и 6:
$2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.
Ответ: 220

893. Сравните числа:

а) $\frac{3!}{6!}$ и $10^{-2}$;

б) $\frac{15!}{10!}$ и $10^5$.

а) Сравним числа $\frac{3!}{6!}$ и $10^{-2}$.

Для начала преобразуем оба выражения к более простому виду.

Упростим первое число, используя определение факториала ($n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$):

$\frac{3!}{6!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}$

Сократив дробь на $3!$, получаем:

$\frac{1}{4 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{1}{20 \cdot 6} = \frac{1}{120}$

Теперь преобразуем второе число:

$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$

Теперь необходимо сравнить две дроби: $\frac{1}{120}$ и $\frac{1}{100}$.

При сравнении дробей с одинаковыми числителями (в нашем случае числитель равен 1), большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше.

Сравним знаменатели: $120 > 100$.

Следовательно, $\frac{1}{120} < \frac{1}{100}$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $\frac{3!}{6!} < 10^{-2}$.

Ответ: $\frac{3!}{6!} < 10^{-2}$

б) Сравним числа $\frac{15!}{10!}$ и $10^5$.

Упростим первое число, используя свойство факториала $\frac{n!}{k!} = (k+1) \cdot \dots \cdot n$ при $n > k$:

$\frac{15!}{10!} = \frac{10! \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{10!} = 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15$

Второе число равно $10^5$, что представляет собой произведение пяти десяток:

$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Теперь сравним два произведения: $11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15$ и $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$.

Каждый из пяти множителей в первом произведении ($11, 12, 13, 14, 15$) больше соответствующего множителя во втором произведении (каждый из которых равен $10$).

$11 > 10$

$12 > 10$

$13 > 10$

$14 > 10$

$15 > 10$

Поскольку каждый множитель первого числа больше каждого соответствующего множителя второго числа, то и все произведение будет больше:

$11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 > 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Для дополнительной проверки можно вычислить точное значение первого выражения:

$11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 = 360360$

Сравниваем полученный результат с $10^5 = 100000$:

$360360 > 100000$

Это подтверждает наш вывод. Следовательно, $\frac{15!}{10!} > 10^5$.

Ответ: $\frac{15!}{10!} > 10^5$

894. Сколько пятизначных чисел, в которых все цифры разные, можно составить из цифр:

а) $1, 3, 5, 7, 9$;

б) $0, 2, 4, 6, 8$?

Для решения этой задачи используется комбинаторная формула для числа перестановок, так как порядок цифр в числе важен, и все цифры в числе должны быть разными.

а) Дан набор из пяти различных ненулевых цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Необходимо составить пятизначное число, используя все эти цифры. Поскольку все цифры должны быть разными, мы должны использовать каждую цифру из набора ровно один раз.
Количество способов расположить 5 различных элементов по 5 позициям равно числу перестановок из 5 элементов ($P_5$).
Формула для числа перестановок из n элементов: $P_n = n!$
В нашем случае n = 5, поэтому количество возможных чисел:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Таким образом, можно составить 120 различных пятизначных чисел.
Ответ: 120.

б) Дан набор из пяти различных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}. Особенность этого набора в том, что в нем есть цифра 0.
Пятизначное число не может начинаться с нуля, иначе оно будет четырехзначным.
Рассмотрим 5 позиций в числе: _ _ _ _ _
1. На первую позицию (разряд десятков тысяч) можно поставить любую цифру, кроме нуля. У нас есть 4 варианта: 2, 4, 6, 8.
2. На вторую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из оставшихся 4 цифр (теперь мы можем использовать 0).
3. На третью позицию (разряд сотен) остается 3 варианта.
4. На четвертую позицию (разряд десятков) — 2 варианта.
5. На пятую позицию (разряд единиц) — 1 оставшаяся цифра.
Используя правило умножения, найдем общее количество комбинаций:
$4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$

Альтернативный способ решения:
Можно найти общее количество перестановок всех 5 цифр, а затем вычесть те перестановки, которые начинаются с нуля.
1. Общее число перестановок из 5 цифр: $P_5 = 5! = 120$.
2. Число перестановок, где 0 стоит на первом месте. Если мы зафиксируем 0 на первой позиции, то остальные 4 цифры {2, 4, 6, 8} можно расставить на оставшихся 4 позициях $P_4 = 4!$ способами.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
3. Искомое количество пятизначных чисел равно разности общего числа перестановок и числа перестановок, начинающихся с нуля:
$120 - 24 = 96$.
Ответ: 96.

895. Сколькими способами Аня, Толя, Зоя, Света, Алла и Петя могут установить очередь по уборке класса в течение шестидневной учебной недели, если Свете удобно дежурить по четвергам, а Алла просит оставить ей субботу?

В данной задаче нам необходимо найти количество способов составления графика дежурства. Всего есть 6 учеников (Аня, Толя, Зоя, Света, Алла и Петя) и 6 дней для дежурства в учебной неделе.

По условию задачи есть два ограничения:
1. Место дежурного в четверг закреплено за Светой. Это означает, что для четверга существует только 1 вариант выбора.
2. Место дежурного в субботу закреплено за Аллой. Это означает, что для субботы также существует только 1 вариант выбора.

После того как мы закрепили Свету за четвергом и Аллу за субботой, у нас остаются 4 ученика (Аня, Толя, Зоя, Петя) и 4 свободных дня для дежурства (понедельник, вторник, среда, пятница).

Теперь нам нужно распределить оставшихся 4 учеников по 4 оставшимся дням. Количество способов, которыми можно расставить 4 различных элемента по 4 позициям, называется числом перестановок из 4 элементов и вычисляется по формуле:
$P_n = n!$

В нашем случае $n=4$, поэтому количество способов равно:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Таким образом, существует 24 способа установить очередь по уборке класса при выполнении указанных условий.

Ответ: 24.

896. В секции по плаванию занимается 12 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них:

а) четырёх человек для предстоящих городских соревнований;

б) команду для участия в эстафете $4 \times 100$ м, определив порядок выступления спортсменов на всех четырёх этапах?

В этой задаче мы имеем дело с выбором элементов из множества. В зависимости от того, важен ли порядок выбираемых элементов, мы будем использовать формулы для сочетаний или размещений.

Общее количество спортсменов в секции $n = 12$.

а) четырёх человек для предстоящих городских соревнований;

В этом случае нам нужно выбрать 4 человека из 12, и порядок, в котором мы их выбираем, не имеет значения. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n=12$ (общее число пловцов), а $k=4$ (число пловцов, которых нужно выбрать).

Подставляем наши значения в формулу:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!}$

Сокращаем $8!$ в числителе и знаменателе:

$C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11880}{24} = 495$

Таким образом, существует 495 способов выбрать 4 спортсменов для соревнований.

Ответ: 495 способов.

б) команду для участия в эстафете 4 × 100 м, определив порядок выступления спортсменов на всех четырёх этапах?

Здесь нам нужно не только выбрать 4 человека из 12, но и распределить их по четырём этапам эстафеты. Поскольку важен порядок выступления спортсменов (кто плывет на первом этапе, кто на втором и т.д.), эта задача на нахождение числа размещений. Мы используем формулу для числа размещений из $n$ по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n=12$ и $k=4$.

Подставляем значения:

$A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880$

Можно рассуждать и по-другому:

• На первый этап эстафеты можно выбрать любого из 12 спортсменов (12 вариантов).
• На второй этап — любого из оставшихся 11 спортсменов (11 вариантов).
• На третий этап — любого из оставшихся 10 (10 вариантов).
• На четвертый этап — любого из оставшихся 9 (9 вариантов).

Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого этапа:

$12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880$

Таким образом, существует 11880 способов составить команду для эстафеты.

Ответ: 11880 способов.

897. У Саши в домашней библиотеке есть 10 научно-фантастических книг и 8 исторических романов. Петя хочет взять у него на летние каникулы 3 какие-нибудь научно-фантастические книги и 2 любых исторических романа. Сколько у него есть способов выбора этих книг?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество способов, которыми можно выбрать книги. Поскольку порядок выбора книг не важен, а важен лишь итоговый набор, мы будем использовать формулу для числа сочетаний из комбинаторики. Решение задачи можно разбить на два независимых действия: выбор научно-фантастических книг и выбор исторических романов.

1. Найдём количество способов выбрать 3 научно-фантастические книги.

У Саши есть 10 научно-фантастических книг, а Пете нужно выбрать из них 3. Количество способов сделать это определяется числом сочетаний из 10 по 3. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число элементов, а $k$ — число выбираемых элементов.
В данном случае $n=10$ и $k=3$:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ способов.

2. Найдём количество способов выбрать 2 исторических романа.

У Саши есть 8 исторических романов, а Пете нужно выбрать из них 2. Рассчитаем число сочетаний из 8 по 2.
Здесь $n=8$ и $k=2$:
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{(2 \cdot 1) \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ способов.

3. Найдём общее количество способов выбора книг.

Поскольку выбор научно-фантастических книг и выбор исторических романов являются независимыми событиями, общее количество способов выбрать желаемый набор книг равно произведению количества способов для каждого типа книг (согласно правилу произведения в комбинаторике).
Общее количество способов = (Количество способов выбрать фантастику) × (Количество способов выбрать романы).
$N = C_{10}^3 \cdot C_8^2 = 120 \cdot 28 = 3360$.

Ответ: 3360.

898. Для шуточной новогодней лотереи, в которой будет разыграно 30 призов, отпечатали 150 билетов. Иван за участие в конкурсе певцов получил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет приз? Какова вероятность того, что он приз не выиграет?

Какова вероятность того, что он выиграет приз?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P(A)$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$. Формула выглядит так:

$P(A) = \frac{m}{n}$

В данной задаче:
- Общее число всех возможных исходов $n$ — это общее количество лотерейных билетов, то есть $n = 150$.
- Число благоприятствующих исходов $m$ (выигрыш) — это количество призовых билетов, то есть $m = 30$.

Иван имеет один билет, поэтому вероятность того, что его билет окажется выигрышным, рассчитывается как отношение числа выигрышных билетов к общему числу билетов:

$P(\text{выигрыш}) = \frac{30}{150} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: 0,2.

Какова вероятность того, что он приз не выиграет?

События «выиграть приз» и «не выиграть приз» являются противоположными. Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1.

$P(\text{событие}) + P(\text{противоположное событие}) = 1$

Зная вероятность выигрыша ($P(\text{выигрыш}) = 0,2$), можно найти вероятность невыигрыша:

$P(\text{не выиграть}) = 1 - P(\text{выигрыш}) = 1 - 0,2 = 0,8$

Также можно рассчитать эту вероятность напрямую. Сначала найдем количество невыигрышных билетов:

$150 \text{ (всего билетов)} - 30 \text{ (выигрышных)} = 120 \text{ (невыигрышных)}$

Тогда вероятность того, что билет Ивана окажется невыигрышным, равна отношению числа невыигрышных билетов к их общему числу:

$P(\text{не выиграть}) = \frac{120}{150} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8$

Ответ: 0,8.

899. На одинаковых листочках бумаги написали цифры от 1 до 9, затем листочки перемешали и сложили в непрозрачный пакет. Наугад вытаскивают один листочек. Какова вероятность того, что на нём будет:

а) цифра 1;

б) цифра 9;

в) чётная цифра;

г) нечётная цифра?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В пакете находится 9 листочков с цифрами от 1 до 9. Таким образом, общее число равновозможных исходов при извлечении одного листочка равно 9, то есть $n=9$.

а) цифра 1

Событие заключается в том, что на вытащенном листочке будет цифра 1. Такой листочек всего один, поэтому число благоприятствующих исходов $m = 1$. Вероятность этого события составляет: $P = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

б) цифра 9

Событие заключается в том, что на вытащенном листочке будет цифра 9. Такой листочек тоже только один, поэтому число благоприятствующих исходов $m = 1$. Вероятность этого события составляет: $P = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

в) чётная цифра

Событие заключается в том, что на вытащенном листочке будет чётная цифра. Среди цифр от 1 до 9 чётными являются 2, 4, 6, 8. Всего таких цифр 4. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 4$. Вероятность этого события составляет: $P = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$

г) нечётная цифра

Событие заключается в том, что на вытащенном листочке будет нечётная цифра. Среди цифр от 1 до 9 нечётными являются 1, 3, 5, 7, 9. Всего таких цифр 5. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 5$. Вероятность этого события составляет: $P = \frac{5}{9}$
Ответ: $\frac{5}{9}$