Номер 890, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

890. Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 = -\frac{1}{32}$, $b_3 = \frac{1}{16}$.

Для решения задачи необходимо найти знаменатель геометрической прогрессии $q$, а затем использовать его для вычисления двенадцатого члена $b_{12}$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти, разделив любой член прогрессии на предшествующий ему член. В данном случае мы можем найти $q$, разделив $b_3$ на $b_2$:

$q = \frac{b_3}{b_2}$

Подставим известные значения $b_2 = -\frac{1}{32}$ и $b_3 = \frac{1}{16}$:

$q = \frac{\frac{1}{16}}{-\frac{1}{32}} = \frac{1}{16} \cdot \left(-\frac{32}{1}\right) = -\frac{32}{16} = -2$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти двенадцатый член прогрессии, используя формулу n-го члена $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Мы можем выразить $b_{12}$ через известный член $b_2$ (или $b_3$). Давайте используем $b_2$:

$b_{12} = b_2 \cdot q^{12-2} = b_2 \cdot q^{10}$

Подставим значения $b_2 = -\frac{1}{32}$ и $q = -2$:

$b_{12} = \left(-\frac{1}{32}\right) \cdot (-2)^{10}$

Представим $32$ как степень двойки: $32 = 2^5$. Поскольку показатель степени 10 является четным числом, $(-2)^{10} = 2^{10}$.

$b_{12} = \left(-\frac{1}{2^5}\right) \cdot 2^{10} = -\frac{2^{10}}{2^5}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$b_{12} = -2^{10-5} = -2^5$

Вычислим полученное значение:

$b_{12} = -32$

Ответ: -32