Номер 886, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

886. Найдите значение выражения:

a) $3x^2 - 6x - 5$ при $x = 1 + \sqrt{2}$;

б) $\frac{x^2 - x - 5}{x - 1}$ при $x = \sqrt{5} + 1$.

а) Чтобы найти значение выражения $3x^2 - 6x - 5$ при $x = 1 + \sqrt{2}$, сначала преобразуем исходное выражение. Вынесем общий множитель 3 за скобки из первых двух слагаемых:

$3x^2 - 6x - 5 = 3(x^2 - 2x) - 5$.

Теперь используем данное значение $x$. Из условия $x = 1 + \sqrt{2}$ следует, что $x - 1 = \sqrt{2}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(x - 1)^2 = (\sqrt{2})^2$

Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$x^2 - 2(x)(1) + 1^2 = 2$

$x^2 - 2x + 1 = 2$

Отсюда выразим комбинацию $x^2 - 2x$:

$x^2 - 2x = 2 - 1 = 1$.

Теперь подставим найденное значение ($1$) в наше преобразованное выражение $3(x^2 - 2x) - 5$:

$3(1) - 5 = 3 - 5 = -2$.

Ответ: $-2$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{x^2 - x - 5}{x - 1}$ при $x = \sqrt{5} + 1$, сначала упростим данную дробь.

Преобразуем числитель $x^2 - x - 5$, выделив в нем выражение, кратное знаменателю $(x-1)$:

$x^2 - x - 5 = x(x-1) - 5$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{x(x-1) - 5}{x - 1}$

Разделим выражение почленно на знаменатель $(x-1)$. Это действие корректно, так как при $x = \sqrt{5} + 1$ знаменатель $x-1 = (\sqrt{5} + 1) - 1 = \sqrt{5} \neq 0$.

$\frac{x(x-1)}{x - 1} - \frac{5}{x - 1} = x - \frac{5}{x - 1}$.

Теперь подставим в это упрощенное выражение значение $x = \sqrt{5} + 1$:

$(\sqrt{5} + 1) - \frac{5}{(\sqrt{5} + 1) - 1} = (\sqrt{5} + 1) - \frac{5}{\sqrt{5}}$.

Упростим дробь $\frac{5}{\sqrt{5}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.

Подставим полученное значение обратно в выражение и выполним вычитание:

$(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} = 1$.

Ответ: $1$.