Номер 882, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

882. Упростите выражение:

а) $(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot 2\sqrt{5} - 5\sqrt{12};$

б) $\frac{2\sqrt{70} - 2\sqrt{28}}{3\sqrt{35} - 3\sqrt{14}};$

в) $(2\sqrt{12} - 3\sqrt{3})^2;$

г) $\frac{10 - 5\sqrt{3}}{10 + 5\sqrt{3}} + \frac{10 + 5\sqrt{3}}{10 - 5\sqrt{3}}.$

а) $(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot 2\sqrt{5} - 5\sqrt{12}$
Для упрощения этого выражения сначала раскроем скобки, умножив $2\sqrt{5}$ на каждый член в скобках. Затем упростим получившиеся слагаемые.
1. Раскрываем скобки:
$(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5} + \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{15 \cdot 5} + 2\sqrt{10 \cdot 5} = 2\sqrt{75} + 2\sqrt{50}$.
2. Теперь все выражение имеет вид:
$2\sqrt{75} + 2\sqrt{50} - 5\sqrt{12}$.
3. Упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
4. Подставим упрощенные значения обратно в выражение:
$2 \cdot (5\sqrt{3}) + 2 \cdot (5\sqrt{2}) - 5 \cdot (2\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{3}$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$(10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}) + 10\sqrt{2} = 0 + 10\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$

б) $\frac{2\sqrt{70} - 2\sqrt{28}}{3\sqrt{35} - 3\sqrt{14}}$
Для упрощения дроби вынесем общие множители в числителе и знаменателе, а затем упростим корни.
1. Вынесем общий множитель 2 в числителе и 3 в знаменателе:
$\frac{2(\sqrt{70} - \sqrt{28})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})}$.
2. Упростим корни в числителе, найдя общий множитель под корнем:
$\sqrt{70} = \sqrt{2 \cdot 35} = \sqrt{2}\sqrt{35}$.
$\sqrt{28} = \sqrt{2 \cdot 14} = \sqrt{2}\sqrt{14}$.
3. Подставим эти выражения в числитель:
$2(\sqrt{2}\sqrt{35} - \sqrt{2}\sqrt{14}) = 2\sqrt{2}(\sqrt{35} - \sqrt{14})$.
4. Теперь вся дробь выглядит так:
$\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{35} - \sqrt{14})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})}$.
5. Сократим общий множитель $(\sqrt{35} - \sqrt{14})$ в числителе и знаменателе:
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

в) $(2\sqrt{12} - 3\sqrt{3})^2$
Сначала упростим выражение в скобках, а затем возведем в квадрат.
1. Упростим член $2\sqrt{12}$:
$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot (\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}) = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
2. Подставим упрощенное значение в исходное выражение:
$(4\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2$.
3. Выполним вычитание в скобках:
$4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
4. Возведем результат в квадрат:
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
Ответ: $3$

г) $\frac{10-5\sqrt{3}}{10+5\sqrt{3}} + \frac{10+5\sqrt{3}}{10-5\sqrt{3}}$
Чтобы сложить эти две дроби, приведем их к общему знаменателю.
1. Общий знаменатель равен произведению знаменателей дробей: $(10+5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3})$. Это разность квадратов:
$(10+5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3}) = 10^2 - (5\sqrt{3})^2 = 100 - (25 \cdot 3) = 100 - 75 = 25$.
2. Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Для этого числитель первой дроби умножим на знаменатель второй, а числитель второй — на знаменатель первой:
$\frac{(10-5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3}) + (10+5\sqrt{3})(10+5\sqrt{3})}{(10+5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3})} = \frac{(10-5\sqrt{3})^2 + (10+5\sqrt{3})^2}{25}$.
3. Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$(10-5\sqrt{3})^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} + (5\sqrt{3})^2 = 100 - 100\sqrt{3} + 75 = 175 - 100\sqrt{3}$.
$(10+5\sqrt{3})^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} + (5\sqrt{3})^2 = 100 + 100\sqrt{3} + 75 = 175 + 100\sqrt{3}$.
4. Сложим выражения в числителе:
$(175 - 100\sqrt{3}) + (175 + 100\sqrt{3}) = 175 + 175 - 100\sqrt{3} + 100\sqrt{3} = 350$.
5. Подставим полученное значение числителя в дробь:
$\frac{350}{25}$.
6. Выполним деление:
$350 \div 25 = 14$.
Ответ: $14$