Номер 885, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

885. Докажите равенство:

a) $\sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{10} - 3$;

б) $\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} = 4 - \sqrt{7}$.

а) Чтобы доказать равенство $\sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{10} - 3$, достаточно показать, что правая часть является неотрицательным числом и ее квадрат равен подкоренному выражению левой части.

1. Проверим знак правой части. Сравним числа $\sqrt{10}$ и $3$. Поскольку $10 > 9$, то $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{10} > 3$. Следовательно, разность $\sqrt{10} - 3$ является положительным числом.

2. Возведем правую часть равенства в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{10} - 3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10}$.

3. Результат возведения в квадрат, $19 - 6\sqrt{10}$, в точности совпадает с выражением под знаком корня в левой части. Таким образом, мы можем записать:

$\sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2}$.

Так как мы уже установили, что $\sqrt{10} - 3 > 0$, то по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, имеем:

$\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} = |\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3$.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем равенство $\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} = 4 - \sqrt{7}$ аналогичным способом.

1. Проверим знак правой части. Сравним числа $4$ и $\sqrt{7}$. Представим $4$ как $\sqrt{16}$. Поскольку $16 > 7$, то $\sqrt{16} > \sqrt{7}$, а значит $4 > \sqrt{7}$. Следовательно, разность $4 - \sqrt{7}$ является положительным числом.

2. Возведем правую часть в квадрат:

$(4 - \sqrt{7})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 16 - 8\sqrt{7} + 7 = 23 - 8\sqrt{7}$.

3. Полученный результат $23 - 8\sqrt{7}$ совпадает с подкоренным выражением в левой части равенства. Значит:

$\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} = \sqrt{(4 - \sqrt{7})^2}$.

Так как $4 - \sqrt{7} > 0$, то:

$\sqrt{(4 - \sqrt{7})^2} = |4 - \sqrt{7}| = 4 - \sqrt{7}$.

Левая и правая части исходного выражения равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.