Страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

879. a) Некоторое количество $15\%$-ного раствора соли смешали с таким же количеством $45\%$-ного раствора этой же соли. Какова концентрация получившегося раствора?

б) Некоторое количество $30\%$-ного раствора соли смешали с вдвое большим количеством $15\%$-ного раствора этой же соли. Какова концентрация получившегося раствора?

а)

Концентрация раствора показывает, какая часть от общей массы раствора приходится на растворенное вещество (в данном случае, соль). Она выражается в процентах.

Пусть масса каждого из смешиваемых растворов равна $m$.

Масса соли в первом, 15%-ном растворе, составляет $m_{соли1} = 0.15 \cdot m$.

Масса соли во втором, 45%-ном растворе, составляет $m_{соли2} = 0.45 \cdot m$.

При смешивании этих двух растворов общая масса нового раствора будет суммой масс исходных растворов: $m_{общ} = m + m = 2m$.

Общая масса соли в новом растворе будет суммой масс соли из исходных растворов: $m_{соли\_общ} = m_{соли1} + m_{соли2} = 0.15m + 0.45m = 0.6m$.

Чтобы найти концентрацию получившегося раствора, нужно разделить общую массу соли на общую массу раствора и умножить на 100%.

Концентрация $\omega = \frac{m_{соли\_общ}}{m_{общ}} \cdot 100\% = \frac{0.6m}{2m} \cdot 100\% = 0.3 \cdot 100\% = 30\%$.

Так как были смешаны равные количества растворов, концентрацию можно также найти как среднее арифметическое их концентраций: $\omega = \frac{15\% + 45\%}{2} = \frac{60\%}{2} = 30\%$.

Ответ: концентрация получившегося раствора составляет 30%.

б)

Пусть масса первого, 30%-ного раствора, равна $m$.

Тогда масса второго, 15%-ного раствора, будет вдвое больше, то есть $2m$.

Найдем массу соли в каждом растворе.

Масса соли в первом растворе: $m_{соли1} = 0.30 \cdot m = 0.3m$.

Масса соли во втором растворе: $m_{соли2} = 0.15 \cdot (2m) = 0.3m$.

Теперь найдем общую массу получившегося раствора и общую массу соли в нем.

Общая масса нового раствора: $m_{общ} = m + 2m = 3m$.

Общая масса соли в новом растворе: $m_{соли\_общ} = m_{соли1} + m_{соли2} = 0.3m + 0.3m = 0.6m$.

Вычислим концентрацию получившегося раствора:

Концентрация $\omega = \frac{m_{соли\_общ}}{m_{общ}} \cdot 100\% = \frac{0.6m}{3m} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: концентрация получившегося раствора составляет 20%.

880. Имеется два сорта сливок — жирностью $10\%$ и $20\%$. Их смешали в отношении $3:1$. Какова жирность получившихся сливок?

Для решения этой задачи мы найдем общую массу жира и общую массу смеси, а затем вычислим их отношение.

Условие гласит, что сливки смешали в отношении 3:1. Это означает, что на каждые 3 части 10-процентных сливок приходится 1 часть 20-процентных. Давайте примем массу одной такой части за $x$.
Тогда масса 10-процентных сливок будет $m_1 = 3x$.
Масса 20-процентных сливок будет $m_2 = 1x = x$.

Теперь вычислим массу жира в каждом из компонентов. Для этого переведем проценты в десятичные дроби: $10\% = 0.1$ и $20\% = 0.2$.
Масса жира в первом сорте сливок: $f_1 = m_1 \cdot 0.1 = 3x \cdot 0.1 = 0.3x$.
Масса жира во втором сорте сливок: $f_2 = m_2 \cdot 0.2 = x \cdot 0.2 = 0.2x$.

Далее найдем общую массу смеси и общую массу жира в ней.
Общая масса смеси: $M_{общ} = m_1 + m_2 = 3x + x = 4x$.
Общая масса жира в смеси: $F_{общ} = f_1 + f_2 = 0.3x + 0.2x = 0.5x$.

Жирность получившейся смеси ($P$) — это отношение общей массы жира к общей массе смеси, умноженное на 100%.
$P = \frac{F_{общ}}{M_{общ}} \cdot 100\%$
Подставим полученные значения в формулу:
$P = \frac{0.5x}{4x} \cdot 100\% = \frac{0.5}{4} \cdot 100\% = 0.125 \cdot 100\% = 12.5\%$

Ответ: 12,5%.

881. а) Клиент банка внёс 8000 р. на вклад с годовым доходом 5%.

Какая сумма окажется у него на счету через 2 года, если он никаких сумм со счёта не снимал и дополнительных вложений не делал?

б) Клиент банка внёс 8000 р. на вклад с годовым доходом 5%.

Через год он положил на этот же вклад ещё 2000 р.

Какая сумма будет у него на счету через 2 года после открытия счёта в банке?

а)

Для расчета итоговой суммы на счете воспользуемся методом начисления сложных процентов, так как доход за каждый год прибавляется к основной сумме вклада (капитализируется), и в следующем году проценты начисляются уже на увеличенную сумму.

Исходные данные:
Начальная сумма вклада: 8000 р.
Годовая процентная ставка: 5% или 0,05.

Шаг 1: Расчет суммы через 1 год.
Найдем доход за первый год, вычислив 5% от начальной суммы:
$8000 \cdot 0,05 = 400$ р.
Сумма на счете в конце первого года станет:
$8000 + 400 = 8400$ р.

Шаг 2: Расчет суммы через 2 года.
Теперь проценты начисляются на новую сумму, равную 8400 р. Найдем доход за второй год:
$8400 \cdot 0,05 = 420$ р.
Итоговая сумма на счете в конце второго года:
$8400 + 420 = 8820$ р.

Также можно применить общую формулу сложных процентов: $S = P \cdot (1 + r)^n$, где $P$ – начальная сумма, $r$ – годовая ставка, $n$ – количество лет.
$S = 8000 \cdot (1 + 0,05)^2 = 8000 \cdot (1,05)^2 = 8000 \cdot 1,1025 = 8820$ р.

Ответ: 8820 р.

б)

В этом случае расчет производится поэтапно, так как через год происходит пополнение вклада.

Шаг 1: Расчет суммы через 1 год (до пополнения).
Сумма на счете в конце первого года, как мы уже рассчитали в пункте а), составит:
$8000 \cdot (1 + 0,05) = 8400$ р.

Шаг 2: Пополнение счета и расчет новой суммы.
Через год клиент добавляет на счет еще 2000 р. Новая сумма вклада, с которой начнется второй год, будет:
$8400 + 2000 = 10400$ р.

Шаг 3: Расчет итоговой суммы через 2 года.
Проценты за второй год будут начисляться на новую сумму в 10400 р.
Доход за второй год составит:
$10400 \cdot 0,05 = 520$ р.
Итоговая сумма на счете через два года после открытия счета:
$10400 + 520 = 10920$ р.

Ответ: 10920 р.

882. Упростите выражение:

а) $(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot 2\sqrt{5} - 5\sqrt{12};$

б) $\frac{2\sqrt{70} - 2\sqrt{28}}{3\sqrt{35} - 3\sqrt{14}};$

в) $(2\sqrt{12} - 3\sqrt{3})^2;$

г) $\frac{10 - 5\sqrt{3}}{10 + 5\sqrt{3}} + \frac{10 + 5\sqrt{3}}{10 - 5\sqrt{3}}.$

а) $(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot 2\sqrt{5} - 5\sqrt{12}$
Для упрощения этого выражения сначала раскроем скобки, умножив $2\sqrt{5}$ на каждый член в скобках. Затем упростим получившиеся слагаемые.
1. Раскрываем скобки:
$(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5} + \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{15 \cdot 5} + 2\sqrt{10 \cdot 5} = 2\sqrt{75} + 2\sqrt{50}$.
2. Теперь все выражение имеет вид:
$2\sqrt{75} + 2\sqrt{50} - 5\sqrt{12}$.
3. Упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
4. Подставим упрощенные значения обратно в выражение:
$2 \cdot (5\sqrt{3}) + 2 \cdot (5\sqrt{2}) - 5 \cdot (2\sqrt{3}) = 10\sqrt{3} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{3}$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$(10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}) + 10\sqrt{2} = 0 + 10\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$

б) $\frac{2\sqrt{70} - 2\sqrt{28}}{3\sqrt{35} - 3\sqrt{14}}$
Для упрощения дроби вынесем общие множители в числителе и знаменателе, а затем упростим корни.
1. Вынесем общий множитель 2 в числителе и 3 в знаменателе:
$\frac{2(\sqrt{70} - \sqrt{28})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})}$.
2. Упростим корни в числителе, найдя общий множитель под корнем:
$\sqrt{70} = \sqrt{2 \cdot 35} = \sqrt{2}\sqrt{35}$.
$\sqrt{28} = \sqrt{2 \cdot 14} = \sqrt{2}\sqrt{14}$.
3. Подставим эти выражения в числитель:
$2(\sqrt{2}\sqrt{35} - \sqrt{2}\sqrt{14}) = 2\sqrt{2}(\sqrt{35} - \sqrt{14})$.
4. Теперь вся дробь выглядит так:
$\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{35} - \sqrt{14})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})}$.
5. Сократим общий множитель $(\sqrt{35} - \sqrt{14})$ в числителе и знаменателе:
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

в) $(2\sqrt{12} - 3\sqrt{3})^2$
Сначала упростим выражение в скобках, а затем возведем в квадрат.
1. Упростим член $2\sqrt{12}$:
$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot (\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}) = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
2. Подставим упрощенное значение в исходное выражение:
$(4\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2$.
3. Выполним вычитание в скобках:
$4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4-3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
4. Возведем результат в квадрат:
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
Ответ: $3$

г) $\frac{10-5\sqrt{3}}{10+5\sqrt{3}} + \frac{10+5\sqrt{3}}{10-5\sqrt{3}}$
Чтобы сложить эти две дроби, приведем их к общему знаменателю.
1. Общий знаменатель равен произведению знаменателей дробей: $(10+5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3})$. Это разность квадратов:
$(10+5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3}) = 10^2 - (5\sqrt{3})^2 = 100 - (25 \cdot 3) = 100 - 75 = 25$.
2. Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Для этого числитель первой дроби умножим на знаменатель второй, а числитель второй — на знаменатель первой:
$\frac{(10-5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3}) + (10+5\sqrt{3})(10+5\sqrt{3})}{(10+5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3})} = \frac{(10-5\sqrt{3})^2 + (10+5\sqrt{3})^2}{25}$.
3. Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$(10-5\sqrt{3})^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} + (5\sqrt{3})^2 = 100 - 100\sqrt{3} + 75 = 175 - 100\sqrt{3}$.
$(10+5\sqrt{3})^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} + (5\sqrt{3})^2 = 100 + 100\sqrt{3} + 75 = 175 + 100\sqrt{3}$.
4. Сложим выражения в числителе:
$(175 - 100\sqrt{3}) + (175 + 100\sqrt{3}) = 175 + 175 - 100\sqrt{3} + 100\sqrt{3} = 350$.
5. Подставим полученное значение числителя в дробь:
$\frac{350}{25}$.
6. Выполним деление:
$350 \div 25 = 14$.
Ответ: $14$

883. Упростите выражение $ (5 - 2\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 8\sqrt{3}) $.

Данное выражение представляет собой разность двух слагаемых. Упростим каждое слагаемое по отдельности, а затем найдем их разность.

1. Упростим первое слагаемое $(5 - 2\sqrt{6})^2$.
Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=5$ и $b=2\sqrt{6}$.
$(5 - 2\sqrt{6})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = 25 - 20\sqrt{6} + 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 25 - 20\sqrt{6} + 4 \cdot 6 = 25 - 20\sqrt{6} + 24 = 49 - 20\sqrt{6}$.

2. Упростим второе слагаемое $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 8\sqrt{3})$.
Перемножим скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):
$(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 8\sqrt{3}) = 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3}$
Выполним умножения:
$= (3 \cdot 4)(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) + (3 \cdot 8)(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) - (2 \cdot 4)(\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) - (2 \cdot 8)(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$
$= 12 \cdot 2 + 24\sqrt{6} - 8\sqrt{6} - 16 \cdot 3$
$= 24 + 24\sqrt{6} - 8\sqrt{6} - 48$
Приведем подобные слагаемые:
$= (24 - 48) + (24\sqrt{6} - 8\sqrt{6}) = -24 + 16\sqrt{6}$.

3. Выполним вычитание.
Подставим упрощенные выражения в исходное:
$(49 - 20\sqrt{6}) - (-24 + 16\sqrt{6})$
Раскроем скобки, помня, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$= 49 - 20\sqrt{6} + 24 - 16\sqrt{6}$
Сгруппируем и сложим целые числа и слагаемые с корнями:
$= (49 + 24) + (-20\sqrt{6} - 16\sqrt{6})$
$= 73 - 36\sqrt{6}$.

Ответ: $73 - 36\sqrt{6}$.

884. Докажите, что:

a) $\frac{\sqrt{\sqrt{18}-3} \cdot \sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{1,5}$;

б) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}} - \sqrt{7-\sqrt{24}}} = \sqrt{0,4}$.

а) Для доказательства тождества $\frac{\sqrt{\sqrt{18}-3} \cdot \sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{1,5}$ преобразуем его левую часть.

Используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ для числителя дроби:

$\sqrt{\sqrt{18}-3} \cdot \sqrt{\sqrt{18}+3} = \sqrt{(\sqrt{18}-3)(\sqrt{18}+3)}$

Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=\sqrt{18}$ и $y=3$. Применим её:

$(\sqrt{18}-3)(\sqrt{18}+3) = (\sqrt{18})^2 - 3^2 = 18 - 9 = 9$

Таким образом, числитель равен $\sqrt{9}=3$.

Теперь вся левая часть выглядит так: $\frac{3}{\sqrt{6}}$.

Чтобы сравнить это выражение с правой частью, представим его в виде одного корня. Для этого запишем числитель как $\sqrt{9}$:

$\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}}$

Сократим дробь под корнем:

$\sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1,5}$

Мы показали, что левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Равенство $\frac{\sqrt{\sqrt{18}-3} \cdot \sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{1,5}$ доказано.

б) Для доказательства тождества $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}} \cdot \sqrt{7-\sqrt{24}}} = \sqrt{0,4}$ преобразуем его левую часть.

Начнем с преобразования знаменателя, используя свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{7+\sqrt{24}} \cdot \sqrt{7-\sqrt{24}} = \sqrt{(7+\sqrt{24})(7-\sqrt{24})}$

Выражение в скобках является формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=7$ и $y=\sqrt{24}$. Применим её:

$(7+\sqrt{24})(7-\sqrt{24}) = 7^2 - (\sqrt{24})^2 = 49 - 24 = 25$

Значит, знаменатель равен $\sqrt{25}=5$.

Теперь вся левая часть выглядит так: $\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Чтобы сравнить это выражение с правой частью, представим его в виде одного корня. Для этого запишем знаменатель как $\sqrt{25}$:

$\frac{\sqrt{10}}{5} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}} = \sqrt{\frac{10}{25}}$

Сократим дробь под корнем:

$\sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{0,4}$

Мы показали, что левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Равенство $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}} \cdot \sqrt{7-\sqrt{24}}} = \sqrt{0,4}$ доказано.

885. Докажите равенство:

a) $\sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{10} - 3$;

б) $\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} = 4 - \sqrt{7}$.

а) Чтобы доказать равенство $\sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{10} - 3$, достаточно показать, что правая часть является неотрицательным числом и ее квадрат равен подкоренному выражению левой части.

1. Проверим знак правой части. Сравним числа $\sqrt{10}$ и $3$. Поскольку $10 > 9$, то $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{10} > 3$. Следовательно, разность $\sqrt{10} - 3$ является положительным числом.

2. Возведем правую часть равенства в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{10} - 3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10}$.

3. Результат возведения в квадрат, $19 - 6\sqrt{10}$, в точности совпадает с выражением под знаком корня в левой части. Таким образом, мы можем записать:

$\sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2}$.

Так как мы уже установили, что $\sqrt{10} - 3 > 0$, то по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, имеем:

$\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} = |\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3$.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем равенство $\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} = 4 - \sqrt{7}$ аналогичным способом.

1. Проверим знак правой части. Сравним числа $4$ и $\sqrt{7}$. Представим $4$ как $\sqrt{16}$. Поскольку $16 > 7$, то $\sqrt{16} > \sqrt{7}$, а значит $4 > \sqrt{7}$. Следовательно, разность $4 - \sqrt{7}$ является положительным числом.

2. Возведем правую часть в квадрат:

$(4 - \sqrt{7})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 16 - 8\sqrt{7} + 7 = 23 - 8\sqrt{7}$.

3. Полученный результат $23 - 8\sqrt{7}$ совпадает с подкоренным выражением в левой части равенства. Значит:

$\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} = \sqrt{(4 - \sqrt{7})^2}$.

Так как $4 - \sqrt{7} > 0$, то:

$\sqrt{(4 - \sqrt{7})^2} = |4 - \sqrt{7}| = 4 - \sqrt{7}$.

Левая и правая части исходного выражения равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

886. Найдите значение выражения:

a) $3x^2 - 6x - 5$ при $x = 1 + \sqrt{2}$;

б) $\frac{x^2 - x - 5}{x - 1}$ при $x = \sqrt{5} + 1$.

а) Чтобы найти значение выражения $3x^2 - 6x - 5$ при $x = 1 + \sqrt{2}$, сначала преобразуем исходное выражение. Вынесем общий множитель 3 за скобки из первых двух слагаемых:

$3x^2 - 6x - 5 = 3(x^2 - 2x) - 5$.

Теперь используем данное значение $x$. Из условия $x = 1 + \sqrt{2}$ следует, что $x - 1 = \sqrt{2}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(x - 1)^2 = (\sqrt{2})^2$

Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$x^2 - 2(x)(1) + 1^2 = 2$

$x^2 - 2x + 1 = 2$

Отсюда выразим комбинацию $x^2 - 2x$:

$x^2 - 2x = 2 - 1 = 1$.

Теперь подставим найденное значение ($1$) в наше преобразованное выражение $3(x^2 - 2x) - 5$:

$3(1) - 5 = 3 - 5 = -2$.

Ответ: $-2$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{x^2 - x - 5}{x - 1}$ при $x = \sqrt{5} + 1$, сначала упростим данную дробь.

Преобразуем числитель $x^2 - x - 5$, выделив в нем выражение, кратное знаменателю $(x-1)$:

$x^2 - x - 5 = x(x-1) - 5$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{x(x-1) - 5}{x - 1}$

Разделим выражение почленно на знаменатель $(x-1)$. Это действие корректно, так как при $x = \sqrt{5} + 1$ знаменатель $x-1 = (\sqrt{5} + 1) - 1 = \sqrt{5} \neq 0$.

$\frac{x(x-1)}{x - 1} - \frac{5}{x - 1} = x - \frac{5}{x - 1}$.

Теперь подставим в это упрощенное выражение значение $x = \sqrt{5} + 1$:

$(\sqrt{5} + 1) - \frac{5}{(\sqrt{5} + 1) - 1} = (\sqrt{5} + 1) - \frac{5}{\sqrt{5}}$.

Упростим дробь $\frac{5}{\sqrt{5}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.

Подставим полученное значение обратно в выражение и выполним вычитание:

$(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} = 1$.

Ответ: $1$.

887. Найдите значение выражения:

a) $0,3^{-3} + \left(\frac{3}{7}\right)^{-1} + (-0,5)^{-2} \cdot \frac{3}{4} + (-1)^{-8} \cdot 6;$

б) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} - \left(\frac{1}{9}\right)^{-1} + \left(\frac{6}{17}\right)^{0} \cdot \frac{1}{8} - 0,25^{-2} \cdot 16.$

а) Для нахождения значения выражения $0,3^{-3} + (\frac{3}{7})^{-1} + (-0,5)^{-2} \cdot \frac{3}{4} + (-1)^{-8} \cdot 6$ вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и $a^0=1$.
1. Первое слагаемое: $0,3^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^3 = \frac{10^3}{3^3} = \frac{1000}{27}$.
2. Второе слагаемое: $(\frac{3}{7})^{-1} = \frac{7}{3}$.
3. Третье слагаемое: $(-0,5)^{-2} \cdot \frac{3}{4} = (-\frac{1}{2})^{-2} \cdot \frac{3}{4} = (-2)^2 \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$.
4. Четвертое слагаемое: $(-1)^{-8} \cdot 6 = \frac{1}{(-1)^8} \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6$.
Теперь сложим полученные результаты:
$\frac{1000}{27} + \frac{7}{3} + 3 + 6 = \frac{1000}{27} + \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 9 = \frac{1000}{27} + \frac{63}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27} = \frac{1000 + 63 + 243}{27} = \frac{1306}{27}$.
Ответ: $\frac{1306}{27}$.

б) Для нахождения значения выражения $(\frac{2}{3})^{-2} - (\frac{1}{9})^{-1} + (\frac{6}{17})^0 \cdot \frac{1}{8} - 0,25^{-2} \cdot 16$ вычислим каждое слагаемое по отдельности.
1. Первое слагаемое: $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
2. Второе слагаемое: $(\frac{1}{9})^{-1} = 9$.
3. Третье слагаемое: $(\frac{6}{17})^0 \cdot \frac{1}{8} = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.
4. Четвертое слагаемое: $0,25^{-2} \cdot 16 = (\frac{1}{4})^{-2} \cdot 16 = 4^2 \cdot 16 = 16 \cdot 16 = 256$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$\frac{9}{4} - 9 + \frac{1}{8} - 256$
Сгруппируем и приведем дроби к общему знаменателю 8:
$(\frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{8}) - (9 + 256) = (\frac{18}{8} + \frac{1}{8}) - 265 = \frac{19}{8} - 265$
Выполним вычитание:
$\frac{19}{8} - \frac{265 \cdot 8}{8} = \frac{19 - 2120}{8} = -\frac{2101}{8}$.
Ответ: $-\frac{2101}{8}$.

888. Верно ли высказывание:

а) простое число не может быть чётным;

б) простое число не имеет делителей;

в) квадрат чётного числа — число чётное?

а) простое число не может быть чётным;

По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Чётное число — это число, которое делится на 2 без остатка.

Рассмотрим число 2. Оно является чётным. Его делители — это 1 и 2. Так как у числа 2 ровно два делителя, оно является простым.

Таким образом, существует простое число (число 2), которое является чётным. Следовательно, данное высказывание неверно. Все остальные чётные числа (4, 6, 8, ...) не являются простыми, так как они, помимо 1 и самих себя, делятся ещё и на 2.

Ответ: неверно.

б) простое число не имеет делителей;

Это высказывание противоречит определению простого числа. Простое число по определению — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два делителя: единицу и само себя.

Например, число 5 является простым. Его делители — это 1 и 5. То есть у него есть делители. Если бы у числа не было делителей, оно не могло бы быть ни простым, ни составным. Каждое натуральное число имеет как минимум один делитель — единицу.

Ответ: неверно.

в) квадрат чётного числа — число чётное?

Да, это высказывание верно. Докажем это.

Любое чётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Найдём квадрат этого числа:

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2$

Полученное выражение $4k^2$ можно переписать как $2 \cdot (2k^2)$. Пусть $m = 2k^2$. Так как $k$ — целое число, то и $m$ будет целым числом.

Таким образом, квадрат чётного числа можно представить в виде $2m$, что по определению означает, что это число является чётным.

Например, $6$ — чётное число. Его квадрат $6^2 = 36$, и 36 также является чётным числом.

Ответ: верно.