Страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

913. Упростите выражение:

а) $ \left( \frac{7(m - 2)}{m^3 - 8} - \frac{m + 2}{m^2 + 2m + 4} \right) \cdot \frac{2m^2 + 4m + 8}{m - 3}; $

б) $ \frac{a + 5}{a^2 - 9} : \left( \frac{a + 2}{a^2 - 3a + 9} - \frac{2(a + 8)}{a^3 + 27} \right); $

В) $ \left( \frac{x + 2}{3x} - \frac{2}{x - 2} - \frac{x - 14}{3x^2 - 6x} \right) : \frac{x + 2}{6x} \cdot \frac{1}{x - 5}; $

Г) $ \left( \frac{4x}{9 - x^2} - \frac{x - 3}{9 + 3x} \right) \cdot \frac{18}{x + 3} - \frac{2x}{3 - x}. $

$\left( \frac{7(m-2)}{m^3 - 8} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4} \right) \cdot \frac{2m^2 + 4m + 8}{m-3}$

1. Упростим выражение в скобках. Знаменатель первой дроби $m^3 - 8$ является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$m^3 - 8 = m^3 - 2^3 = (m-2)(m^2 + 2m + 4)$.

Подставим это в выражение в скобках:

$\frac{7(m-2)}{(m-2)(m^2 + 2m + 4)} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4}$

Сократим $(m-2)$ в первой дроби. Так как знаменатели стали одинаковыми, вычтем числители:

$\frac{7}{m^2 + 2m + 4} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4} = \frac{7 - (m+2)}{m^2 + 2m + 4} = \frac{7 - m - 2}{m^2 + 2m + 4} = \frac{5 - m}{m^2 + 2m + 4}$

2. Упростим второй множитель, вынеся общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\frac{2m^2 + 4m + 8}{m-3} = \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m-3}$

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$\frac{5 - m}{m^2 + 2m + 4} \cdot \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m-3}$

Сократим общий множитель $(m^2 + 2m + 4)$:

$\frac{5 - m}{1} \cdot \frac{2}{m-3} = \frac{2(5 - m)}{m-3}$

Ответ: $\frac{2(5 - m)}{m-3}$

$\frac{a+5}{a^2-9} : \left( \frac{a+2}{a^2 - 3a + 9} - \frac{2(a+8)}{a^3 + 27} \right)$

1. Упростим выражение в скобках. Знаменатель второй дроби $a^3 + 27$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a^3 + 27 = a^3 + 3^3 = (a+3)(a^2 - 3a + 9)$.

Приведем дроби в скобках к этому общему знаменателю:

$\frac{(a+2)(a+3)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} - \frac{2(a+8)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{(a^2+5a+6) - (2a+16)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{a^2+3a-10}{a^3+27}$

Разложим числитель на множители: $a^2+3a-10 = (a+5)(a-2)$. Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(a+5)(a-2)}{a^3+27}$.

2. Теперь выполним деление. Разложим знаменатель делимого $a^2-9$ по формуле разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.

$\frac{a+5}{a^2-9} : \frac{(a+5)(a-2)}{a^3+27} = \frac{a+5}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a^3+27}{(a+5)(a-2)}$

Подставим разложение $a^3+27$ и сократим общие множители $(a+5)$ и $(a+3)$:

$\frac{a+5}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{(a+3)(a^2-3a+9)}{(a+5)(a-2)} = \frac{1}{a-3} \cdot \frac{a^2-3a+9}{a-2} = \frac{a^2-3a+9}{(a-3)(a-2)}$

Ответ: $\frac{a^2-3a+9}{(a-3)(a-2)}$

$\left( \frac{x+2}{3x} - \frac{2}{x-2} - \frac{x-14}{3x^2 - 6x} \right) : \frac{x+2}{6x} \cdot \frac{1}{x-5}$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Это будет общий знаменатель для всех дробей в скобках.

$\frac{(x+2)(x-2)}{3x(x-2)} - \frac{2 \cdot 3x}{3x(x-2)} - \frac{x-14}{3x(x-2)} = \frac{(x^2-4) - 6x - (x-14)}{3x(x-2)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2-4-6x-x+14}{3x(x-2)} = \frac{x^2-7x+10}{3x(x-2)}$

Разложим числитель на множители: $x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)$.

$\frac{(x-2)(x-5)}{3x(x-2)}$

Сократим на $(x-2)$, получим: $\frac{x-5}{3x}$.

2. Выполним деление и умножение в порядке их следования:

$\frac{x-5}{3x} : \frac{x+2}{6x} \cdot \frac{1}{x-5} = \left(\frac{x-5}{3x} \cdot \frac{6x}{x+2}\right) \cdot \frac{1}{x-5}$

Сократим $6x$ и $3x$ в первом действии:

$\frac{2(x-5)}{x+2} \cdot \frac{1}{x-5}$

Сократим на $(x-5)$:

$\frac{2}{x+2}$

Ответ: $\frac{2}{x+2}$

$\left( \frac{4x}{9-x^2} - \frac{x-3}{9+3x} \right) \cdot \frac{18}{x+3} - \frac{2x}{3-x}$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $9-x^2 = (3-x)(3+x)$ и $9+3x = 3(3+x)$.

$\frac{4x}{(3-x)(3+x)} - \frac{x-3}{3(3+x)}$

Заметим, что $x-3 = -(3-x)$. Используем это, чтобы поменять знак перед второй дробью:

$\frac{4x}{(3-x)(3+x)} + \frac{3-x}{3(3+x)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $3(3-x)(3+x)$:

$\frac{4x \cdot 3}{3(3-x)(3+x)} + \frac{(3-x)(3-x)}{3(3-x)(3+x)} = \frac{12x + (3-x)^2}{3(3-x)(3+x)}$

Раскроем квадрат в числителе: $12x + (9-6x+x^2) = x^2+6x+9$. Этот трехчлен является полным квадратом: $(x+3)^2$.

Выражение в скобках равно: $\frac{(x+3)^2}{3(3-x)(3+x)}$.

Сократим на $(x+3)$: $\frac{x+3}{3(3-x)}$.

2. Выполним умножение:

$\frac{x+3}{3(3-x)} \cdot \frac{18}{x+3}$

Сократим на $(x+3)$ и на 3:

$\frac{1}{3-x} \cdot \frac{18}{1} = \frac{6}{3-x}$

3. Выполним вычитание:

$\frac{6}{3-x} - \frac{2x}{3-x} = \frac{6-2x}{3-x}$

Вынесем 2 за скобку в числителе:

$\frac{2(3-x)}{3-x} = 2$

Ответ: $2$

914. Преобразуйте выражение:

а) $\frac{1}{2} + \left( \frac{3m}{1 - 3m} + \frac{2m}{3m + 1} \right) \cdot \frac{9m^2 - 6m + 1}{6m^2 + 10m};$

б) $\left( \frac{1}{x + y} - \frac{y^2}{xy^2 - x^3} \right) : \left( \frac{x - y}{x^2 + xy} - \frac{x}{y^2 + xy} \right) - \frac{x}{x + y};$

в) $\frac{2a + 3}{2a - 3} \cdot \left( \frac{2a^2 + 3a}{4a^2 + 12a + 9} - \frac{3a + 2}{2a + 3} \right) + \frac{4a - 1}{2a - 3} - \frac{a - 1}{a};$

г) $\left( \frac{a + 3}{a^2 + 2a + 1} + \frac{a - 1}{a^2 - 2a - 3} \right) \cdot \frac{a^2 - 2a - 3}{a + 2} - 1;$

д) $\frac{3(m + 3)}{m^2 + 3m + 9} + \frac{m^3 - 3m^2}{(m + 3)^2} \cdot \left( \frac{3m}{m^3 - 27} + \frac{1}{m - 3} \right);$

е) $\left( \frac{9x^2 + 8}{27x^3 - 1} - \frac{1}{3x - 1} + \frac{4}{9x^2 + 3x + 1} \right) \cdot \frac{3x - 1}{3x + 1}.$

а)

Выполним преобразование выражения по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель: $(1-3m)(3m+1) = 1-9m^2$.

$\frac{3m}{1-3m} + \frac{2m}{3m+1} = \frac{3m(3m+1) + 2m(1-3m)}{(1-3m)(3m+1)} = \frac{9m^2+3m+2m-6m^2}{1-9m^2} = \frac{3m^2+5m}{1-9m^2}$

2. Упростим второй множитель, разложив числитель и знаменатель на множители.

$9m^2-6m+1 = (3m-1)^2$

$6m^2+10m = 2m(3m+5)$

Получаем дробь: $\frac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)}$

3. Выполним умножение. Учтем, что $1-9m^2 = -(3m-1)(3m+1)$ и $3m^2+5m = m(3m+5)$.

$\frac{m(3m+5)}{-(3m-1)(3m+1)} \cdot \frac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)} = \frac{1}{-(3m+1)} \cdot \frac{3m-1}{2} = \frac{-(3m-1)}{2(3m+1)} = \frac{1-3m}{2(3m+1)}$

4. Выполним сложение с первым слагаемым $\frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} + \frac{1-3m}{2(3m+1)} = \frac{1 \cdot (3m+1) + (1-3m)}{2(3m+1)} = \frac{3m+1+1-3m}{2(3m+1)} = \frac{2}{2(3m+1)} = \frac{1}{3m+1}$

Ответ: $\frac{1}{3m+1}$

б)

Предполагая, что вычитание последней дроби является последним действием, выполним преобразования по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках (делимое).

$\frac{1}{x+y} - \frac{y^2}{xy^2-x^3} = \frac{1}{x+y} - \frac{y^2}{x(y^2-x^2)} = \frac{1}{x+y} - \frac{y^2}{x(y-x)(y+x)} = \frac{x(y-x)-y^2}{x(y-x)(y+x)} = \frac{xy-x^2-y^2}{x(y-x)(y+x)}$

2. Упростим выражение во вторых скобках (делитель).

$\frac{x-y}{x^2+xy} - \frac{x}{y^2+xy} = \frac{x-y}{x(x+y)} - \frac{x}{y(y+x)} = \frac{y(x-y)-x \cdot x}{xy(x+y)} = \frac{xy-y^2-x^2}{xy(x+y)}$

3. Выполним деление.

$\frac{xy-x^2-y^2}{x(y-x)(y+x)} : \frac{xy-y^2-x^2}{xy(x+y)} = \frac{xy-x^2-y^2}{x(y-x)(y+x)} \cdot \frac{xy(x+y)}{xy-x^2-y^2} = \frac{y}{y-x}$

4. Выполним вычитание последней дроби.

$\frac{y}{y-x} - \frac{x}{x+y} = \frac{y(x+y) - x(y-x)}{(y-x)(x+y)} = \frac{xy+y^2-xy+x^2}{y^2-x^2} = \frac{x^2+y^2}{y^2-x^2}$

Ответ: $\frac{x^2+y^2}{y^2-x^2}$

в)

Выполним преобразования в соответствии с порядком действий (умножение, затем сложение и вычитание).

1. Упростим выражение в скобках.

$\frac{2a^2+3a}{4a^2+12a+9} - \frac{3a+2}{2a+3} = \frac{a(2a+3)}{(2a+3)^2} - \frac{3a+2}{2a+3} = \frac{a}{2a+3} - \frac{3a+2}{2a+3} = \frac{a-(3a+2)}{2a+3} = \frac{-2a-2}{2a+3} = \frac{-2(a+1)}{2a+3}$

2. Выполним умножение.

$\frac{2a+3}{2a-3} \cdot \frac{-2(a+1)}{2a+3} = \frac{-2(a+1)}{2a-3}$

3. Выполним сложение и вычитание.

$\frac{-2(a+1)}{2a-3} + \frac{4a-1}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = \frac{-2a-2+4a-1}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = \frac{2a-3}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = 1 - \frac{a-1}{a} = \frac{a-(a-1)}{a} = \frac{a-a+1}{a} = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

г)

Выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $a^2+2a+1=(a+1)^2$ и $a^2-2a-3=(a-3)(a+1)$.

$\frac{a+3}{(a+1)^2} + \frac{a-1}{(a-3)(a+1)} = \frac{(a+3)(a-3)+(a-1)(a+1)}{(a+1)^2(a-3)} = \frac{a^2-9+a^2-1}{(a+1)^2(a-3)} = \frac{2a^2-10}{(a+1)^2(a-3)}$

2. Выполним умножение. Множитель $\frac{a^2-2a-3}{a+2} = \frac{(a-3)(a+1)}{a+2}$.

$\frac{2(a^2-5)}{(a+1)^2(a-3)} \cdot \frac{(a-3)(a+1)}{a+2} = \frac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)}$

3. Выполним вычитание.

$\frac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)} - 1 = \frac{2a^2-10}{(a+1)(a+2)} - \frac{(a+1)(a+2)}{(a+1)(a+2)} = \frac{2a^2-10-(a^2+3a+2)}{a^2+3a+2} = \frac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}$

Ответ: $\frac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}$

д)

Выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Используем формулу разности кубов: $m^3-27 = (m-3)(m^2+3m+9)$.

$\frac{3m}{m^3-27} + \frac{1}{m-3} = \frac{3m}{(m-3)(m^2+3m+9)} + \frac{1 \cdot (m^2+3m+9)}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{3m+m^2+3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{m^2+6m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{(m+3)^2}{m^3-27}$

2. Выполним умножение. Разложим $m^3-3m^2 = m^2(m-3)$.

$\frac{m^2(m-3)}{(m+3)^2} \cdot \frac{(m+3)^2}{m^3-27} = \frac{m^2(m-3)}{(m+3)^2} \cdot \frac{(m+3)^2}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{m^2}{m^2+3m+9}$

3. Выполним сложение.

$\frac{3(m+3)}{m^2+3m+9} + \frac{m^2}{m^2+3m+9} = \frac{3m+9+m^2}{m^2+3m+9} = \frac{m^2+3m+9}{m^2+3m+9} = 1$

Ответ: $1$

е)

Выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Используем формулу разности кубов: $27x^3-1 = (3x-1)(9x^2+3x+1)$. Это будет общий знаменатель.

$\frac{9x^2+8}{27x^3-1} - \frac{1}{3x-1} + \frac{4}{9x^2+3x+1} = \frac{9x^2+8 - 1(9x^2+3x+1) + 4(3x-1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}$

Упростим числитель:

$9x^2+8 - 9x^2 - 3x - 1 + 12x - 4 = 9x+3 = 3(3x+1)$

Выражение в скобках равно: $\frac{3(3x+1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}$

2. Выполним умножение.

$\frac{3(3x+1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)} \cdot \frac{3x-1}{3x+1} = \frac{3}{9x^2+3x+1}$

Ответ: $\frac{3}{9x^2+3x+1}$

915. а) Найдите значение выражения $a^2 + b^2$, если $a + b = 6$, $ab = 3$.

б) Найдите значение выражения $c^2 + \frac{1}{c^2}$, если $c + \frac{1}{c} = 2,5$.

а) Для нахождения значения выражения $a^2 + b^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Из этой формулы выразим искомое слагаемое $a^2 + b^2$:
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
Теперь подставим известные значения $a+b = 6$ и $ab = 3$ в полученное выражение:
$a^2 + b^2 = (6)^2 - 2 \cdot 3 = 36 - 6 = 30$
Ответ: 30

б) Для нахождения значения выражения $c^2 + \frac{1}{c^2}$, также воспользуемся формулой квадрата суммы. Возведем в квадрат известное выражение $c + \frac{1}{c}$:
$(c + \frac{1}{c})^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot \frac{1}{c} + (\frac{1}{c})^2$
Упростим средний член: $2 \cdot c \cdot \frac{1}{c} = 2$.
Получим: $(c + \frac{1}{c})^2 = c^2 + 2 + \frac{1}{c^2}$
Выразим из этого равенства искомое выражение $c^2 + \frac{1}{c^2}$:
$c^2 + \frac{1}{c^2} = (c + \frac{1}{c})^2 - 2$
Подставим известное значение $c + \frac{1}{c} = 2,5$:
$c^2 + \frac{1}{c^2} = (2,5)^2 - 2 = 6,25 - 2 = 4,25$
Ответ: 4,25

916. Докажите, что:

а) значение выражения $a^2 + 2a + 2$ ни при каком значении переменной $a$ не может быть отрицательным;

б) выражение $2x^2 - 2xy + y^2$ при любых значениях $x$ и $y$ принимает неотрицательные значения.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $a^2 + 2a + 2$ не может быть отрицательным, преобразуем его, выделив полный квадрат. Для этого представим число $2$ в виде суммы $1+1$:
$a^2 + 2a + 2 = a^2 + 2a + 1 + 1$
Первые три слагаемых $a^2 + 2a + 1$ представляют собой формулу квадрата суммы $(a+1)^2$. Таким образом, выражение можно переписать в виде:
$(a^2 + 2a + 1) + 1 = (a+1)^2 + 1$
Теперь проанализируем полученное выражение. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a+1)^2 \ge 0$ для любого значения переменной $a$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число $1$, то результат всегда будет положительным.
Более строго, $(a+1)^2 \ge 0$, следовательно, $(a+1)^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $(a+1)^2 + 1 \ge 1$.
Поскольку значение выражения всегда больше или равно $1$, оно всегда является положительным и, следовательно, не может быть отрицательным.
Ответ: Наименьшее значение выражения равно $1$ (при $a=-1$), поэтому оно никогда не бывает отрицательным.

б) Чтобы доказать, что выражение $2x^2 - 2xy + y^2$ принимает неотрицательные значения, преобразуем его, представив в виде суммы квадратов. Для этого разобьем слагаемое $2x^2$ на $x^2 + x^2$:
$2x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + x^2 - 2xy + y^2$
Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы выделить формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$x^2 + (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + (x-y)^2$
В результате мы получили сумму двух квадратов: $x^2$ и $(x-y)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть:
$x^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
$(x-y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.
Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна:
$x^2 + (x-y)^2 \ge 0$
Таким образом, значение выражения $2x^2 - 2xy + y^2$ всегда больше или равно нулю, то есть принимает неотрицательные значения при любых $x$ и $y$. Равенство нулю достигается только при $x=0$ и $y=0$.
Ответ: Выражение можно представить в виде суммы квадратов $x^2 + (x-y)^2$, которая всегда является неотрицательной.

917. Упростите выражение:

а) $ (4x^{-2}y^3)^2 \cdot (0,5x^2y^{-1})^3; $

б) $ (0,25a^{-3}b^4)^{-2} \cdot (2a^5b^{-6})^{-1}; $

в) $ \left(\frac{c^4}{6x^2y^{-5}}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{1}{3}c^2x^3y^{-2}\right)^4; $

г) $ \left(\frac{0,1a^{-2}}{b^{-1}c^3}\right)^5 \cdot \left(\frac{b^5}{10a^4c^6}\right)^{-3}. $

а) Исходное выражение: $(4x^{-2}y^3)^2 \cdot (0,5x^2y^{-1})^3$.
Для упрощения воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
Возведем в степень каждый из множителей в скобках:
Первый множитель: $(4x^{-2}y^3)^2 = 4^2 \cdot (x^{-2})^2 \cdot (y^3)^2 = 16x^{-4}y^6$.
Второй множитель: $(0,5x^2y^{-1})^3 = (0,5)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^{-1})^3 = 0,125x^6y^{-3}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$16x^{-4}y^6 \cdot 0,125x^6y^{-3}$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные и применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(16 \cdot 0,125) \cdot (x^{-4} \cdot x^6) \cdot (y^6 \cdot y^{-3}) = 2 \cdot x^{-4+6} \cdot y^{6+(-3)} = 2x^2y^3$.
Ответ: $2x^2y^3$

б) Исходное выражение: $(0,25a^{-3}b^4)^{-2} \cdot (2a^5b^{-6})^{-1}$.
Представим $0,25$ как $\frac{1}{4}$ и возведем каждый множитель в соответствующую степень:
Первый множитель: $(0,25a^{-3}b^4)^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^4)^{-2} = 4^2 \cdot a^{-3 \cdot (-2)} \cdot b^{4 \cdot (-2)} = 16a^6b^{-8}$.
Второй множитель: $(2a^5b^{-6})^{-1} = 2^{-1} \cdot (a^5)^{-1} \cdot (b^{-6})^{-1} = \frac{1}{2}a^{-5}b^6$.
Перемножим полученные выражения:
$16a^6b^{-8} \cdot \frac{1}{2}a^{-5}b^6$.
Сгруппируем и упростим:
$(16 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (a^6 \cdot a^{-5}) \cdot (b^{-8} \cdot b^6) = 8 \cdot a^{6-5} \cdot b^{-8+6} = 8a^1b^{-2} = 8ab^{-2}$.
Ответ: $8ab^{-2}$

в) Исходное выражение: $(\frac{c^4}{6x^2y^{-5}})^{-2} \cdot (\frac{1}{3}c^2x^3y^{-2})^4$.
Для упрощения используем свойства степеней, включая $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Первый множитель: $(\frac{c^4}{6x^2y^{-5}})^{-2} = (\frac{6x^2y^{-5}}{c^4})^2 = \frac{6^2(x^2)^2(y^{-5})^2}{(c^4)^2} = \frac{36x^4y^{-10}}{c^8}$.
Второй множитель: $(\frac{1}{3}c^2x^3y^{-2})^4 = (\frac{1}{3})^4 \cdot (c^2)^4 \cdot (x^3)^4 \cdot (y^{-2})^4 = \frac{1}{81}c^8x^{12}y^{-8}$.
Перемножим результаты:
$\frac{36x^4y^{-10}}{c^8} \cdot \frac{1}{81}c^8x^{12}y^{-8}$.
Сгруппируем подобные члены:
$\frac{36}{81} \cdot \frac{c^8}{c^8} \cdot (x^4 \cdot x^{12}) \cdot (y^{-10} \cdot y^{-8})$.
Сократим дробь $\frac{36}{81} = \frac{4}{9}$ и упростим степени:
$\frac{4}{9} \cdot 1 \cdot x^{4+12} \cdot y^{-10-8} = \frac{4}{9}x^{16}y^{-18}$.
Ответ: $\frac{4}{9}x^{16}y^{-18}$

г) Исходное выражение: $(\frac{0,1a^{-2}}{b^{-1}c^3})^5 \cdot (\frac{b^5}{10a^4c^6})^{-3}$.
Упростим каждый множитель по отдельности. Заметим, что $0,1 = 10^{-1}$.
Первый множитель: $(\frac{10^{-1}a^{-2}}{b^{-1}c^3})^5 = \frac{(10^{-1})^5(a^{-2})^5}{(b^{-1})^5(c^3)^5} = \frac{10^{-5}a^{-10}}{b^{-5}c^{15}}$.
Второй множитель: $(\frac{b^5}{10a^4c^6})^{-3} = (\frac{10a^4c^6}{b^5})^3 = \frac{10^3(a^4)^3(c^6)^3}{(b^5)^3} = \frac{10^3a^{12}c^{18}}{b^{15}}$.
Перемножим полученные дроби:
$\frac{10^{-5}a^{-10}}{b^{-5}c^{15}} \cdot \frac{10^3a^{12}c^{18}}{b^{15}} = \frac{10^{-5} \cdot 10^3 \cdot a^{-10} \cdot a^{12} \cdot c^{18}}{b^{-5} \cdot b^{15} \cdot c^{15}}$.
Упростим степени, используя свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{-5+3} \cdot a^{-10+12} \cdot c^{18-15}}{b^{-5+15}} = \frac{10^{-2}a^2c^3}{b^{10}}$.
Так как $10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01$, окончательный вид выражения:
$\frac{0,01a^2c^3}{b^{10}}$.
Ответ: $\frac{0,01a^2c^3}{b^{10}}$