Страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

970. Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит $67\%$ меди, а второй — $87\%$ меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий $79\%$ меди?

Для решения этой задачи необходимо определить, в какой пропорции нужно смешать два сплава, чтобы получить третий сплав с заданной концентрацией меди. Обозначим массу первого сплава как $m_1$, а массу второго сплава как $m_2$.

В первом сплаве содержится 67% меди. Это означает, что масса меди в этом сплаве составляет $0.67 \cdot m_1$.

Во втором сплаве содержится 87% меди. Соответственно, масса меди в этом сплаве составляет $0.87 \cdot m_2$.

При смешивании этих двух сплавов общая масса полученного нового сплава будет равна сумме масс исходных сплавов: $m_1 + m_2$.

Общая масса меди в новом сплаве будет равна сумме масс меди из первого и второго сплавов: $0.67 \cdot m_1 + 0.87 \cdot m_2$.

По условию задачи, в итоговом сплаве должно содержаться 79% меди. Это значит, что масса меди в новом сплаве также может быть выражена как $0.79 \cdot (m_1 + m_2)$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для массы меди в конечном сплаве:

$0.67 \cdot m_1 + 0.87 \cdot m_2 = 0.79 \cdot (m_1 + m_2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$0.67 m_1 + 0.87 m_2 = 0.79 m_1 + 0.79 m_2$

Теперь сгруппируем слагаемые с $m_1$ на одной стороне уравнения, а слагаемые с $m_2$ — на другой. Для этого перенесем $0.67 m_1$ в правую часть, а $0.79 m_2$ — в левую:

$0.87 m_2 - 0.79 m_2 = 0.79 m_1 - 0.67 m_1$

Выполним вычитание:

$0.08 m_2 = 0.12 m_1$

Задача состоит в том, чтобы найти соотношение, в котором нужно взять сплавы, то есть найти отношение масс $\frac{m_1}{m_2}$. Выразим это отношение из полученного равенства:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{0.08}{0.12}$

Для упрощения дроби можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{8}{12}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$

Таким образом, отношение массы первого сплава к массе второго сплава должно быть 2 к 3.

Ответ: сплавы нужно взять в соотношении 2:3.

971. Смешали два раствора соли. Концентрация первого составляла 40%, а концентрация второго — 48%. В результате получился раствор соли концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Для решения задачи введем переменные. Пусть масса первого раствора (с концентрацией 40%) равна $m_1$, а масса второго раствора (с концентрацией 48%) равна $m_2$.

Масса соли в первом растворе составляет $0.40 \cdot m_1$.

Масса соли во втором растворе составляет $0.48 \cdot m_2$.

При смешивании этих двух растворов общая масса полученного раствора будет равна $m_1 + m_2$, а общая масса соли в нем — $0.40 m_1 + 0.48 m_2$.

Концентрация полученного раствора составляет 42%, или 0.42. Концентрация вычисляется как отношение массы соли к общей массе раствора. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение: $$ \frac{0.40 m_1 + 0.48 m_2}{m_1 + m_2} = 0.42 $$

Чтобы найти искомое отношение $\frac{m_1}{m_2}$, решим это уравнение. Умножим обе части на знаменатель $(m_1 + m_2)$: $$ 0.40 m_1 + 0.48 m_2 = 0.42(m_1 + m_2) $$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $$ 0.40 m_1 + 0.48 m_2 = 0.42 m_1 + 0.42 m_2 $$

Теперь сгруппируем слагаемые с $m_1$ на одной стороне уравнения, а с $m_2$ — на другой: $$ 0.48 m_2 - 0.42 m_2 = 0.42 m_1 - 0.40 m_1 $$

Выполним вычитание: $$ 0.06 m_2 = 0.02 m_1 $$

Чтобы найти отношение $\frac{m_1}{m_2}$, разделим обе части уравнения на $m_2$ и на $0.02$: $$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{0.06}{0.02} $$ $$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{1} $$

Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго раствора составляет 3 к 1.

Ответ: Первый и второй растворы были взяты в отношении 3:1.

972. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y + x^2 = 5x, \\ 2y + 5 = x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ 2x^2 + y = 6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy = 1, \\ x^2 + y^2 = 9; \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy = -2, \\ y + 8 = \frac{1}{2}x^2. \end{cases}$

а)

Для решения системы графическим методом построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение: $y + x^2 = 5x$. Выразим $y$: $y = -x^2 + 5x$ Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = 2.5$ $y_в = -(2.5)^2 + 5(2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25$ Вершина находится в точке $(2.5, 6.25)$. Найдем точки пересечения с осью Ox (где $y=0$): $-x^2 + 5x = 0 \implies -x(x-5) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 5$. Точки: $(0, 0)$ и $(5, 0)$.

Второе уравнение: $2y + 5 = x$. Выразим $y$: $2y = x - 5 \implies y = \frac{1}{2}x - 2.5$ Это уравнение прямой. Для ее построения достаточно двух точек: - если $x = 1$, то $y = \frac{1}{2}(1) - 2.5 = -2$. Точка $(1, -2)$. - если $x = 5$, то $y = \frac{1}{2}(5) - 2.5 = 2.5 - 2.5 = 0$. Точка $(5, 0)$.

Построим графики параболы $y = -x^2 + 5x$ и прямой $y = \frac{1}{2}x - 2.5$ на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках.

Координаты точек пересечения: $(5, 0)$ и $(-0.5, -2.75)$.

Ответ: $(5, 0)$, $(-0.5, -2.75)$.

б)

Построим графики каждого уравнения системы.

Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 25$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение: $2x^2 + y = 6$. Выразим $y$: $y = -2x^2 + 6$ Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины: $x_в = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$ $y_в = -2(0)^2 + 6 = 6$ Вершина находится в точке $(0, 6)$. Для построения найдем еще несколько точек: - если $x = \pm 1$, то $y = -2(1)^2 + 6 = 4$. Точки $(1, 4)$ и $(-1, 4)$. - если $x = \pm 2$, то $y = -2(2)^2 + 6 = -2$. Точки $(2, -2)$ и $(-2, -2)$.

Построим графики окружности и параболы. Из-за симметрии обоих графиков относительно оси Oy, точки пересечения также будут симметричны. Графики пересекаются в четырех точках. Поскольку точки пересечения не имеют целочисленных координат, мы можем найти их лишь приблизительно.

Приблизительные координаты точек пересечения: $(\approx 0.7, \approx 4.9)$, $(\approx -0.7, \approx 4.9)$, $(\approx 2.3, \approx -4.4)$ и $(\approx -2.3, \approx -4.4)$.

Ответ: $(\approx 0.7, \approx 4.9)$, $(\approx -0.7, \approx 4.9)$, $(\approx 2.3, \approx -4.4)$, $(\approx -2.3, \approx -4.4)$.

в)

Построим графики каждого уравнения системы.

Первое уравнение: $xy = 1$. Выразим $y$: $y = \frac{1}{x}$ Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Точки для построения: $(1, 1)$, $(2, 0.5)$, $(0.5, 2)$, $(-1, -1)$, $(-2, -0.5)$.

Второе уравнение: $x^2 + y^2 = 9$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Построим графики гиперболы и окружности. Графики пересекаются в четырех точках, симметричных относительно начала координат. Найдем их координаты приблизительно по графику.

Приблизительные координаты точек пересечения: $(\approx 0.3, \approx 3.0)$, $(\approx 3.0, \approx 0.3)$, $(\approx -0.3, \approx -3.0)$, $(\approx -3.0, \approx -0.3)$.

Ответ: $(\approx 0.3, \approx 3.0)$, $(\approx 3.0, \approx 0.3)$, $(\approx -0.3, \approx -3.0)$, $(\approx -3.0, \approx -0.3)$.

г)

Построим графики каждого уравнения системы.

Первое уравнение: $xy = -2$. Выразим $y$: $y = -\frac{2}{x}$ Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Точки для построения: $(-1, 2)$, $(-2, 1)$, $(1, -2)$, $(2, -1)$.

Второе уравнение: $y + 8 = \frac{1}{2}x^2$. Выразим $y$: $y = \frac{1}{2}x^2 - 8$ Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина находится в точке $(0, -8)$. Точки для построения: - если $x = \pm 2$, то $y = \frac{1}{2}(4) - 8 = -6$. Точки $(2, -6)$ и $(-2, -6)$. - если $x = \pm 4$, то $y = \frac{1}{2}(16) - 8 = 0$. Точки $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.

Построим графики гиперболы и параболы. Из графика видно, что они пересекаются в трех точках. Координаты этих точек можно определить лишь приблизительно.

Приблизительные координаты точек пересечения: $(\approx -4.1, \approx 0.5)$, $(\approx 0.25, \approx -8)$, $(\approx 3.9, \approx -0.5)$.

Ответ: $(\approx -4.1, \approx 0.5)$, $(\approx 0.25, \approx -8)$, $(\approx 3.9, \approx -0.5)$.

973. Решите систему уравнений способом подстановки:

a) $\begin{cases} x^2 + y + 8 = xy, \\ y - 2x = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 16, \\ x + y = 8; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - xy + y^2 = 13; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = 1, \\ 3y + x = 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3y = -12, \\ 2y - 7x = 8; \end{cases}$

е) $\begin{cases} y^2 - 6x + y = 0, \\ 2x - \frac{1}{2}y = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y + 8 = xy, \\ y - 2x = 0; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + (2x) + 8 = x(2x)$

$x^2 + 2x + 8 = 2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x^2 - 2x - 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 2, а произведение равно -8. Корнями являются:

$x_1 = 4$

$x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя уравнение $y = 2x$:

При $x_1 = 4$, $y_1 = 2 \cdot 4 = 8$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4, 8), (-2, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 16, \\ x + y = 8; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 8 - y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(8 - y)^2 - y^2 = 16$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(64 - 16y + y^2) - y^2 = 16$

$64 - 16y = 16$

Решим полученное линейное уравнение относительно $y$:

$64 - 16 = 16y$

$48 = 16y$

$y = \frac{48}{16} = 3$

Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив $y = 3$ в выражение $x = 8 - y$:

$x = 8 - 3 = 5$

Система имеет одно решение.

Ответ: $(5, 3)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - xy + y^2 = 13; \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - x(5 - x) + (5 - x)^2 = 13$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 5x + x^2 + (25 - 10x + x^2) = 13$

$3x^2 - 15x + 25 = 13$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3x^2 - 15x + 12 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней 5, произведение 4. Корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 5 - x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 5 - 1 = 4$.

При $x_2 = 4$, $y_2 = 5 - 4 = 1$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = 1, \\ 3y + x = 0; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = -3y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(-3y)^2 + y^2 + 3(-3y)y = 1$

$9y^2 + y^2 - 9y^2 = 1$

$y^2 = 1$

Отсюда получаем два значения для $y$:

$y_1 = 1$, $y_2 = -1$

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = -3y$:

При $y_1 = 1$, $x_1 = -3 \cdot 1 = -3$.

При $y_2 = -1$, $x_2 = -3 \cdot (-1) = 3$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(-3, 1), (3, -1)$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 + 5x - 3y = -12, \\ 2y - 7x = 8; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$2y = 7x + 8$

$y = \frac{7x + 8}{2}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 + 5x - 3\left(\frac{7x + 8}{2}\right) = -12$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$4x^2 + 10x - 3(7x + 8) = -24$

$4x^2 + 10x - 21x - 24 = -24$

$4x^2 - 11x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(4x - 11) = 0$

Отсюда получаем два значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $4x - 11 = 0 \implies x_2 = \frac{11}{4}$

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = \frac{7x + 8}{2}$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = \frac{7(0) + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

При $x_2 = \frac{11}{4}$, $y_2 = \frac{7(\frac{11}{4}) + 8}{2} = \frac{\frac{77}{4} + \frac{32}{4}}{2} = \frac{\frac{109}{4}}{2} = \frac{109}{8}$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(0, 4), (\frac{11}{4}, \frac{109}{8})$.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y^2 - 6x + y = 0, \\ 2x - \frac{1}{2}y = 1. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$2x = 1 + \frac{1}{2}y$

$x = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$y^2 - 6\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}y\right) + y = 0$

$y^2 - 3 - \frac{6}{4}y + y = 0$

$y^2 - 3 - \frac{3}{2}y + y = 0$

$y^2 - \frac{1}{2}y - 3 = 0$

Умножим все уравнение на 2:

$2y^2 - y - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}$

$y_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}y$:

При $y_1 = 2$, $x_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}(2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

При $y_2 = -\frac{3}{2}$, $x_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(1, 2), (\frac{1}{8}, -\frac{3}{2})$.

974. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x - y - xy = 14, \\ x + 2y + xy = -7; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ xy = 8. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1; \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x + xy + y) + (x - xy + y) = 11 + 1$

$2x + 2y = 12$

$x + y = 6$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x + xy + y) - (x - xy + y) = 11 - 1$

$2xy = 10$

$xy = 5$

Получили новую, более простую систему:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 5; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 6 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(6 - x) = 5$

$6x - x^2 = 5$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$.

Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 6 - 5 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y - xy = 14, \\ x + 2y + xy = -7; \end{cases} $

Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от члена $xy$:

$(2x - y - xy) + (x + 2y + xy) = 14 + (-7)$

$3x + y = 7$

Выразим $y$ из полученного уравнения: $y = 7 - 3x$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$x + 2(7 - 3x) + x(7 - 3x) = -7$

$x + 14 - 6x + 7x - 3x^2 = -7$

Приведем подобные члены:

$-3x^2 + 2x + 14 = -7$

$-3x^2 + 2x + 21 = 0$

$3x^2 - 2x - 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-21) = 4 + 252 = 256 = 16^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 16}{2 \cdot 3}$

$x_1 = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{2 - 16}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 7 - 3(3) = 7 - 9 = -2$.

Если $x_2 = -\frac{7}{3}$, то $y_2 = 7 - 3(-\frac{7}{3}) = 7 + 7 = 14$.

Ответ: $(3, -2)$ и $(-\frac{7}{3}, 14)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15; \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 2:

$2xy = 30$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$x^2 + 2xy + y^2 = 34 + 30$

$(x + y)^2 = 64$

Отсюда $x + y = 8$ или $x + y = -8$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x + y = 8$ и $xy = 15$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 3$, $t_2 = 5$. Значит, решениями являются пары $(3, 5)$ и $(5, 3)$.

Случай 2: $x + y = -8$ и $xy = 15$. Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-8)t + 15 = 0$, то есть $t^2 + 8t + 15 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = -3$, $t_2 = -5$. Значит, решениями являются пары $(-3, -5)$ и $(-5, -3)$.

Ответ: $(3, 5)$, $(5, 3)$, $(-3, -5)$, $(-5, -3)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ xy = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{8}{x}$ (заметим, что $x \neq 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{8}{x})^2 = 12$

$x^2 - \frac{64}{x^2} = 12$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (поскольку $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 - 64 = 12x^2$

$x^4 - 12x^2 - 64 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $u = x^2$. Так как $x$ - действительное число, $u \ge 0$.

$u^2 - 12u - 64 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант), корни $u_1 = 16$ и $u_2 = -4$.

Корень $u_2 = -4$ не удовлетворяет условию $u \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Остается $u = 16$. Вернемся к переменной $x$:

$x^2 = 16$

Отсюда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{8}{4} = 2$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{8}{-4} = -2$.

Ответ: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

975. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли:

а) парабола $y = x^2 - 6x + 8$ и прямая $x + y = 4$;

б) прямая $x + y = 4$ и гипербола $y = \frac{3}{x}$;

в) окружности $x^2 + y^2 = 4$ и $(x - 3)^2 + y^2 = 1$;

г) окружность $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ и прямая $x + 2y = 3$.

Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

а) парабола $y = x^2 - 6x + 8$ и прямая $x + y = 4$

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 - 6x + 8 \\ x + y = 4 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y: $y = 4 - x$.

Подставим это выражение в уравнение параболы:

$4 - x = x^2 - 6x + 8$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + x + 8 - 4 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D$ данного квадратного уравнения ($a=1, b=-5, c=4$):

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Найдем абсциссы (координаты x) точек пересечения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Теперь найдем соответствующие ординаты (координаты y), подставив значения x в уравнение прямой $y = 4 - x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 4 - 1 = 3$.

При $x_2 = 4$, $y_2 = 4 - 4 = 0$.

Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(4, 0)$.

Иллюстрация решения на графике:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(4, 0)$.

б) прямая $x + y = 4$ и гипербола $y = \frac{3}{x}$

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{3}{x} \\ x + y = 4 \end{cases} $

Из второго уравнения $y = 4 - x$. Подставим в первое уравнение (при условии, что $x \neq 0$):

$4 - x = \frac{3}{x}$

Умножим обе части на x:

$x(4 - x) = 3$

$4x - x^2 = 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, значит, прямая и гипербола пересекаются в двух точках.

Найдем абсциссы точек пересечения:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Найдем соответствующие ординаты из уравнения $y = 4 - x$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 4 - 1 = 3$.

При $x_2 = 3$, $y_2 = 4 - 3 = 1$.

Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Иллюстрация решения на графике:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

в) окружности $x^2 + y^2 = 4$ и $(x - 3)^2 + y^2 = 1$

Проанализируем параметры данных окружностей.

Первая окружность $x^2 + y^2 = 4$ имеет центр в начале координат, в точке $C_1(0, 0)$, и радиус $r_1 = \sqrt{4} = 2$.

Вторая окружность $(x - 3)^2 + y^2 = 1$ имеет центр в точке $C_2(3, 0)$ и радиус $r_2 = \sqrt{1} = 1$.

Найдем расстояние d между центрами окружностей:

$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.

Сравним это расстояние с суммой и разностью радиусов:

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$.

Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |2 - 1| = 1$.

Поскольку расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = r_1 + r_2$), окружности касаются друг друга внешним образом в одной точке.

Чтобы найти координаты точки касания, решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ (x - 3)^2 + y^2 = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения $y^2 = 4 - x^2$. Подставим во второе:

$(x - 3)^2 + (4 - x^2) = 1$

$x^2 - 6x + 9 + 4 - x^2 = 1$

$-6x + 13 = 1$

$-6x = -12$

$x = 2$

Подставим x в выражение для $y^2$: $y^2 = 4 - 2^2 = 0$, следовательно, $y = 0$.

Координаты точки касания: $(2, 0)$.

Иллюстрация решения на графике:

Ответ: Да, пересекаются (касаются) в одной точке. Координаты точки: $(2, 0)$.

г) окружность $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ и прямая $x + 2y = 3$

Решим систему уравнений для нахождения точек пересечения:

$ \begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $

Из уравнения прямой выразим x: $x = 3 - 2y$.

Подставим это в уравнение окружности:

$((3 - 2y) - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

$(2 - 2y)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Раскроем скобки:

$(4 - 8y + 4y^2) + (y^2 - 4y + 4) = 4$

Приведем подобные члены:

$5y^2 - 12y + 8 = 4$

$5y^2 - 12y + 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, следовательно, прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Найдем ординаты точек пересечения:

$y = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 \pm 8}{10}$

$y_1 = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

$y_2 = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Найдем соответствующие абсциссы из $x = 3 - 2y$:

При $y_1 = 0.4$, $x_1 = 3 - 2(0.4) = 3 - 0.8 = 2.2$.

При $y_2 = 2$, $x_2 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$.

Координаты точек пересечения: $(2.2, 0.4)$ и $(-1, 2)$.

Иллюстрация решения на графике:

Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(-1, 2)$ и $(2.2, 0.4)$.