Номер 974, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

974. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x - y - xy = 14, \\ x + 2y + xy = -7; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ xy = 8. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1; \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x + xy + y) + (x - xy + y) = 11 + 1$

$2x + 2y = 12$

$x + y = 6$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x + xy + y) - (x - xy + y) = 11 - 1$

$2xy = 10$

$xy = 5$

Получили новую, более простую систему:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 5; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 6 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(6 - x) = 5$

$6x - x^2 = 5$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$.

Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 6 - 5 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y - xy = 14, \\ x + 2y + xy = -7; \end{cases} $

Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от члена $xy$:

$(2x - y - xy) + (x + 2y + xy) = 14 + (-7)$

$3x + y = 7$

Выразим $y$ из полученного уравнения: $y = 7 - 3x$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$x + 2(7 - 3x) + x(7 - 3x) = -7$

$x + 14 - 6x + 7x - 3x^2 = -7$

Приведем подобные члены:

$-3x^2 + 2x + 14 = -7$

$-3x^2 + 2x + 21 = 0$

$3x^2 - 2x - 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-21) = 4 + 252 = 256 = 16^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 16}{2 \cdot 3}$

$x_1 = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{2 - 16}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 7 - 3(3) = 7 - 9 = -2$.

Если $x_2 = -\frac{7}{3}$, то $y_2 = 7 - 3(-\frac{7}{3}) = 7 + 7 = 14$.

Ответ: $(3, -2)$ и $(-\frac{7}{3}, 14)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15; \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 2:

$2xy = 30$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$x^2 + 2xy + y^2 = 34 + 30$

$(x + y)^2 = 64$

Отсюда $x + y = 8$ или $x + y = -8$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x + y = 8$ и $xy = 15$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 3$, $t_2 = 5$. Значит, решениями являются пары $(3, 5)$ и $(5, 3)$.

Случай 2: $x + y = -8$ и $xy = 15$. Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-8)t + 15 = 0$, то есть $t^2 + 8t + 15 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = -3$, $t_2 = -5$. Значит, решениями являются пары $(-3, -5)$ и $(-5, -3)$.

Ответ: $(3, 5)$, $(5, 3)$, $(-3, -5)$, $(-5, -3)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ xy = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{8}{x}$ (заметим, что $x \neq 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{8}{x})^2 = 12$

$x^2 - \frac{64}{x^2} = 12$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (поскольку $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 - 64 = 12x^2$

$x^4 - 12x^2 - 64 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $u = x^2$. Так как $x$ - действительное число, $u \ge 0$.

$u^2 - 12u - 64 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант), корни $u_1 = 16$ и $u_2 = -4$.

Корень $u_2 = -4$ не удовлетворяет условию $u \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Остается $u = 16$. Вернемся к переменной $x$:

$x^2 = 16$

Отсюда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{8}{4} = 2$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{8}{-4} = -2$.

Ответ: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.