Номер 968, страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

968. На опытном поле под рожь отвели участок 20 га, а под пшеницу — 30 га. В прошлом году с обоих участков собрали 2300 ц зерна. В этом году урожайность ржи повысилась на 20%, а пшеницы — на 30% и поэтому собрали зерна на 610 ц больше, чем в прошлом году. Какой была урожайность каждой культуры в этом году?

Для решения этой задачи необходимо составить систему уравнений. Обозначим неизвестные переменные:

• Пусть $x$ — урожайность ржи в прошлом году (в центнерах с гектара, ц/га).
• Пусть $y$ — урожайность пшеницы в прошлом году (в ц/га).

Составление системы уравнений

Исходя из данных прошлого года, мы знаем, что с 20 га ржи и 30 га пшеницы собрали 2300 ц зерна. Это позволяет нам составить первое уравнение:

Общий сбор ржи: $20 \cdot x$

Общий сбор пшеницы: $30 \cdot y$

Суммарный сбор: $20x + 30y = 2300$

В этом году урожайность ржи повысилась на 20%, а урожайность пшеницы — на 30%. Таким образом, новые показатели урожайности:

Урожайность ржи в этом году: $x + 0.2x = 1.2x$

Урожайность пшеницы в этом году: $y + 0.3y = 1.3y$

Общий сбор зерна в этом году увеличился на 610 ц и составил $2300 + 610 = 2910$ ц. Составим второе уравнение на основе данных этого года:

Общий сбор ржи в этом году: $20 \cdot (1.2x) = 24x$

Общий сбор пшеницы в этом году: $30 \cdot (1.3y) = 39y$

Суммарный сбор: $24x + 39y = 2910$

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 20x + 30y = 2300 \\ 24x + 39y = 2910 \end{cases}$

Решение системы уравнений

Для удобства упростим уравнения. Разделим первое уравнение на 10, а второе на 3:

$\begin{cases} 2x + 3y = 230 \\ 8x + 13y = 970 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки или сложения. Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на -4, чтобы при сложении с вторым уравнением исключить переменную $x$:

$-4 \cdot (2x + 3y) = -4 \cdot 230 \implies -8x - 12y = -920$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-8x - 12y) + (8x + 13y) = -920 + 970$

$y = 50$

Итак, урожайность пшеницы в прошлом году составляла 50 ц/га.

Теперь подставим найденное значение $y = 50$ в упрощенное первое уравнение ($2x + 3y = 230$), чтобы найти $x$:

$2x + 3 \cdot 50 = 230$

$2x + 150 = 230$

$2x = 230 - 150$

$2x = 80$

$x = 40$

Следовательно, урожайность ржи в прошлом году составляла 40 ц/га.

Расчет урожайности в этом году

Основной вопрос задачи — найти урожайность каждой культуры в этом году.

1. Урожайность ржи в этом году повысилась на 20% от прошлогоднего показателя:

$40 \text{ ц/га} \cdot (1 + 0.20) = 40 \cdot 1.2 = 48 \text{ ц/га}$

2. Урожайность пшеницы в этом году повысилась на 30% от прошлогоднего показателя:

$50 \text{ ц/га} \cdot (1 + 0.30) = 50 \cdot 1.3 = 65 \text{ ц/га}$

Ответ: урожайность ржи в этом году составила 48 ц/га, а урожайность пшеницы — 65 ц/га.