Номер 965, страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

965. При каких значениях $b$ и $c$ парабола $y = x^2 + bx + c$ пересекает оси координат в точках $(0; -3)$ и $(\frac{1}{2}; 0)$? В какой ещё точке эта парабола пересекает ось x?

При каких значениях b и c парабола $y = x^2 + bx + c$ пересекает оси координат в точках $(0; -3)$ и $(\frac{1}{2}; 0)$

Чтобы найти значения коэффициентов $b$ и $c$, мы воспользуемся тем, что парабола проходит через указанные точки. Это означает, что координаты этих точек удовлетворяют уравнению параболы.

1. Подставим координаты точки пересечения с осью OY, $(0; -3)$, в уравнение $y = x^2 + bx + c$:
$-3 = (0)^2 + b \cdot 0 + c$
$-3 = 0 + 0 + c$
Отсюда сразу находим значение $c$:
$c = -3$

2. Теперь уравнение параболы принимает вид $y = x^2 + bx - 3$. Подставим в него координаты точки пересечения с осью OX, $(\frac{1}{2}; 0)$:
$0 = (\frac{1}{2})^2 + b \cdot \frac{1}{2} - 3$
$0 = \frac{1}{4} + \frac{b}{2} - 3$

3. Решим полученное уравнение относительно $b$:
$\frac{b}{2} = 3 - \frac{1}{4}$
$\frac{b}{2} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4}$
$\frac{b}{2} = \frac{11}{4}$
$b = \frac{11}{4} \cdot 2$
$b = \frac{11}{2}$ или $b = 5.5$

Ответ: $b = \frac{11}{2}$, $c = -3$.

В какой ещё точке эта парабола пересекает ось x?

С найденными коэффициентами уравнение параболы имеет вид:
$y = x^2 + \frac{11}{2}x - 3$

Точки пересечения параболы с осью $x$ (осью абсцисс) — это точки, для которых ордината $y=0$. Их абсциссы являются корнями квадратного уравнения:
$x^2 + \frac{11}{2}x - 3 = 0$

Из условия задачи мы знаем один из корней этого уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$. Чтобы найти второй корень, $x_2$, удобно использовать теорему Виета.

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $q = -3$.
Подставим известный корень $x_1 = \frac{1}{2}$ в это соотношение:
$\frac{1}{2} \cdot x_2 = -3$
$x_2 = -3 \cdot 2$
$x_2 = -6$

Таким образом, вторая точка пересечения параболы с осью $x$ имеет абсциссу -6 и ординату 0.

Ответ: $(-6; 0)$.