Номер 960, страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

960. Каково расстояние от точки пересечения прямых $5x - 2y = -25$ и $-4x + 3y = 27$:a) до оси абсцисс; б) до оси ординат; в) до начала координат?

Сначала найдем координаты точки пересечения прямых, решив систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 2y = -25 \\ -4x + 3y = 27 \end{cases} $

Для решения системы методом сложения умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 3 \cdot (5x - 2y) = 3 \cdot (-25) \\ 2 \cdot (-4x + 3y) = 2 \cdot 27 \end{cases} $

$ \begin{cases} 15x - 6y = -75 \\ -8x + 6y = 54 \end{cases} $

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(15x - 6y) + (-8x + 6y) = -75 + 54$

$7x = -21$

$x = \frac{-21}{7} = -3$

Подставим найденное значение $x = -3$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$5(-3) - 2y = -25$

$-15 - 2y = -25$

$-2y = -25 + 15$

$-2y = -10$

$y = \frac{-10}{-2} = 5$

Итак, точка пересечения прямых имеет координаты $(-3, 5)$. Теперь найдем расстояния от этой точки до заданных объектов.

а) до оси абсцисс

Расстояние от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до оси абсцисс (оси $Ox$) равно модулю ее ординаты, то есть $|y_0|$. Для точки $(-3, 5)$ расстояние до оси абсцисс равно $|5| = 5$.

Ответ: 5.

б) до оси ординат

Расстояние от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до оси ординат (оси $Oy$) равно модулю ее абсциссы, то есть $|x_0|$. Для точки $(-3, 5)$ расстояние до оси ординат равно $|-3| = 3$.

Ответ: 3.

в) до начала координат

Расстояние от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до начала координат $(0, 0)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x_0 - 0)^2 + (y_0 - 0)^2} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$. Для точки $(-3, 5)$ это расстояние равно:

$d = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

Ответ: $\sqrt{34}$.