Страница 232 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

960. Каково расстояние от точки пересечения прямых $5x - 2y = -25$ и $-4x + 3y = 27$:a) до оси абсцисс; б) до оси ординат; в) до начала координат?

Сначала найдем координаты точки пересечения прямых, решив систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 2y = -25 \\ -4x + 3y = 27 \end{cases} $

Для решения системы методом сложения умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 3 \cdot (5x - 2y) = 3 \cdot (-25) \\ 2 \cdot (-4x + 3y) = 2 \cdot 27 \end{cases} $

$ \begin{cases} 15x - 6y = -75 \\ -8x + 6y = 54 \end{cases} $

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(15x - 6y) + (-8x + 6y) = -75 + 54$

$7x = -21$

$x = \frac{-21}{7} = -3$

Подставим найденное значение $x = -3$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$5(-3) - 2y = -25$

$-15 - 2y = -25$

$-2y = -25 + 15$

$-2y = -10$

$y = \frac{-10}{-2} = 5$

Итак, точка пересечения прямых имеет координаты $(-3, 5)$. Теперь найдем расстояния от этой точки до заданных объектов.

а) до оси абсцисс

Расстояние от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до оси абсцисс (оси $Ox$) равно модулю ее ординаты, то есть $|y_0|$. Для точки $(-3, 5)$ расстояние до оси абсцисс равно $|5| = 5$.

Ответ: 5.

б) до оси ординат

Расстояние от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до оси ординат (оси $Oy$) равно модулю ее абсциссы, то есть $|x_0|$. Для точки $(-3, 5)$ расстояние до оси ординат равно $|-3| = 3$.

Ответ: 3.

в) до начала координат

Расстояние от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до начала координат $(0, 0)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x_0 - 0)^2 + (y_0 - 0)^2} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$. Для точки $(-3, 5)$ это расстояние равно:

$d = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

Ответ: $\sqrt{34}$.

961. Подберите значения k и b так, чтобы система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{l} y = kx + b, \\ y = 2.5x - 3: \end{array} \right.$$

а) не имела решений;

б) имела бесконечно много решений;

в) имела единственным решением пару чисел, в которой $x = 4$.

а) не имела решений;
Система двух линейных уравнений не имеет решений, если графики этих уравнений являются параллельными, но не совпадающими прямыми. Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых равны, а точки пересечения с осью Y (свободные члены) — различны. В данной системе $y = kx + b$ и $y = 2,5x - 3$ угловой коэффициент первой прямой равен $k$, а второй — $2,5$. Точка пересечения с осью Y для первой прямой — $b$, для второй — $-3$. Следовательно, для отсутствия решений необходимо и достаточно выполнения условий: $k = 2,5$ и $b \neq -3$.
Ответ: $k = 2,5$, $b$ – любое число, не равное $-3$ (например, $b=1$).

б) имела бесконечно много решений;
Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений совпадают. Для этого необходимо, чтобы и угловые коэффициенты, и точки пересечения с осью Y были равны. Сравнивая уравнения $y = kx + b$ и $y = 2,5x - 3$, получаем условия: $k = 2,5$ и $b = -3$. При этих значениях оба уравнения описывают одну и ту же прямую.
Ответ: $k = 2,5$, $b = -3$.

в) имела единственным решением пару чисел, в которой x = 4.
Система имеет единственное решение, если графики уравнений пересекаются, то есть их угловые коэффициенты не равны: $k \neq 2,5$. По условию, это решение содержит $x = 4$. Найдем соответствующее значение $y$ из второго, полностью определенного, уравнения: $y = 2,5 \cdot 4 - 3 = 10 - 3 = 7$. Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(4, 7)$. Эта точка должна принадлежать и первой прямой, то есть её координаты должны удовлетворять уравнению $y = kx + b$. Подставим их: $7 = k \cdot 4 + b$, или $4k + b = 7$. Мы можем выбрать любое значение $k$, не равное $2,5$, и вычислить соответствующее значение $b$. Например, пусть $k=1$. Тогда: $4 \cdot 1 + b = 7$ $4 + b = 7$ $b = 3$ Эта пара значений ($k=1, b=3$) удовлетворяет всем условиям.
Ответ: например, $k = 1$ и $b = 3$. (Существует бесконечно много других пар, удовлетворяющих условию $4k+b=7$ при $k \neq 2,5$).

962. Принадлежит ли точка пересечения прямых $-2x + y = 11$ и $3x + 2y = 1$ прямой:

a) $10x - 3y = -45$;

б) $-7x + 9y = 65?`

Чтобы определить, принадлежит ли точка пересечения прямых $-2x + y = 11$ и $3x + 2y = 1$ другим прямым, сначала найдем координаты этой точки. Для этого решим систему из двух уравнений:

$$ \begin{cases} -2x + y = 11 \\ 3x + 2y = 1 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 11 + 2x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3x + 2(11 + 2x) = 1$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$3x + 22 + 4x = 1$

$7x = 1 - 22$

$7x = -21$

$x = -3$

Теперь найдем значение $y$, подставив найденный $x$ в выражение для $y$:

$y = 11 + 2(-3) = 11 - 6 = 5$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(-3, 5)$.

Далее проверим, удовлетворяют ли эти координаты уравнениям прямых из подпунктов.

а) Проверим, принадлежит ли точка $(-3, 5)$ прямой $10x - 3y = -45$.

Подставим $x = -3$ и $y = 5$ в уравнение прямой:

$10(-3) - 3(5) = -30 - 15 = -45$

Мы получили верное равенство $-45 = -45$. Это означает, что точка пересечения принадлежит данной прямой.

Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим, принадлежит ли точка $(-3, 5)$ прямой $-7x + 9y = 65$.

Подставим $x = -3$ и $y = 5$ в уравнение прямой:

$-7(-3) + 9(5) = 21 + 45 = 66$

Мы получили $66$, а в уравнении правая часть равна $65$. Так как $66 \ne 65$, точка пересечения не принадлежит данной прямой.

Ответ: нет, не принадлежит.

963. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точки:

а) $(0; 30)$ и $(6; 0);$

б) $(2; 3)$ и $(-2; 10).$

а) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, используется общее уравнение прямой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения прямой с осью OY).

Нам даны точки с координатами $(0; 30)$ и $(6; 0)$. Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$, чтобы составить систему уравнений и найти коэффициенты $k$ и $b$.

1. Для точки $(0; 30)$ подставляем $x=0$ и $y=30$:
$30 = k \cdot 0 + b$

2. Для точки $(6; 0)$ подставляем $x=6$ и $y=0$:
$0 = k \cdot 6 + b$

Из первого уравнения сразу находим значение $b$:
$b = 30$

Теперь подставим найденное значение $b=30$ во второе уравнение, чтобы найти $k$:
$0 = 6k + 30$
$6k = -30$
$k = \frac{-30}{6}$
$k = -5$

Мы нашли оба коэффициента: $k = -5$ и $b = 30$. Подставим их в общее уравнение прямой $y = kx + b$, чтобы получить итоговое уравнение:

$y = -5x + 30$

Ответ: $y = -5x + 30$

б) Аналогично найдем уравнение прямой, которая проходит через точки $(2; 3)$ и $(-2; 10)$.

Составим систему уравнений, подставив координаты этих точек в уравнение $y = kx + b$:

1. Для точки $(2; 3)$: $3 = k \cdot 2 + b \implies 2k + b = 3$

2. Для точки $(-2; 10)$: $10 = k \cdot (-2) + b \implies -2k + b = 10$

Теперь решим полученную систему уравнений. Удобно сложить два уравнения, чтобы найти переменную $b$:
$(2k + b) + (-2k + b) = 3 + 10$
$2k - 2k + 2b = 13$
$2b = 13$
$b = \frac{13}{2}$

Теперь, зная $b$, подставим его значение в первое уравнение ($2k + b = 3$) для нахождения $k$:
$2k + \frac{13}{2} = 3$
$2k = 3 - \frac{13}{2}$
Чтобы вычесть дроби, приведем 3 к общему знаменателю:
$2k = \frac{6}{2} - \frac{13}{2}$
$2k = -\frac{7}{2}$
$k = -\frac{7}{4}$

Зная коэффициенты $k = -\frac{7}{4}$ и $b = \frac{13}{2}$, запишем итоговое уравнение прямой:

$y = -\frac{7}{4}x + \frac{13}{2}$

Ответ: $y = -\frac{7}{4}x + \frac{13}{2}$

964. Найдите те значения $a$ и $b$, при которых точки $A(2; -3)$ и $B(1; 4)$ принадлежат параболе $y = ax^2 + bx$.

Чтобы точки A(2; -3) и B(1; 4) принадлежали параболе $y = ax^2 + bx$, их координаты должны удовлетворять уравнению этой параболы. Это означает, что при подстановке координат каждой точки в уравнение мы должны получить верное равенство.

Подставим координаты точки A(2; -3) в уравнение $y = ax^2 + bx$:
$-3 = a \cdot (2)^2 + b \cdot 2$
$4a + 2b = -3$

Теперь подставим координаты точки B(1; 4) в то же уравнение:
$4 = a \cdot (1)^2 + b \cdot 1$
$a + b = 4$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
$\begin{cases} 4a + 2b = -3 \\ a + b = 4 \end{cases}$

Для решения системы выразим переменную $b$ из второго уравнения:
$b = 4 - a$

Подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение системы и решим его относительно $a$:
$4a + 2(4 - a) = -3$
$4a + 8 - 2a = -3$
$2a = -3 - 8$
$2a = -11$
$a = -\frac{11}{2} = -5.5$

Теперь, зная значение $a$, найдем соответствующее значение $b$, подставив $a = -\frac{11}{2}$ в выражение $b = 4 - a$:
$b = 4 - (-\frac{11}{2})$
$b = 4 + \frac{11}{2}$
$b = \frac{8}{2} + \frac{11}{2}$
$b = \frac{19}{2} = 9.5$

Таким образом, искомые значения коэффициентов: $a = -5.5$ и $b = 9.5$.

Ответ: $a = -5.5$, $b = 9.5$.

965. При каких значениях $b$ и $c$ парабола $y = x^2 + bx + c$ пересекает оси координат в точках $(0; -3)$ и $(\frac{1}{2}; 0)$? В какой ещё точке эта парабола пересекает ось x?

При каких значениях b и c парабола $y = x^2 + bx + c$ пересекает оси координат в точках $(0; -3)$ и $(\frac{1}{2}; 0)$

Чтобы найти значения коэффициентов $b$ и $c$, мы воспользуемся тем, что парабола проходит через указанные точки. Это означает, что координаты этих точек удовлетворяют уравнению параболы.

1. Подставим координаты точки пересечения с осью OY, $(0; -3)$, в уравнение $y = x^2 + bx + c$:
$-3 = (0)^2 + b \cdot 0 + c$
$-3 = 0 + 0 + c$
Отсюда сразу находим значение $c$:
$c = -3$

2. Теперь уравнение параболы принимает вид $y = x^2 + bx - 3$. Подставим в него координаты точки пересечения с осью OX, $(\frac{1}{2}; 0)$:
$0 = (\frac{1}{2})^2 + b \cdot \frac{1}{2} - 3$
$0 = \frac{1}{4} + \frac{b}{2} - 3$

3. Решим полученное уравнение относительно $b$:
$\frac{b}{2} = 3 - \frac{1}{4}$
$\frac{b}{2} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4}$
$\frac{b}{2} = \frac{11}{4}$
$b = \frac{11}{4} \cdot 2$
$b = \frac{11}{2}$ или $b = 5.5$

Ответ: $b = \frac{11}{2}$, $c = -3$.

В какой ещё точке эта парабола пересекает ось x?

С найденными коэффициентами уравнение параболы имеет вид:
$y = x^2 + \frac{11}{2}x - 3$

Точки пересечения параболы с осью $x$ (осью абсцисс) — это точки, для которых ордината $y=0$. Их абсциссы являются корнями квадратного уравнения:
$x^2 + \frac{11}{2}x - 3 = 0$

Из условия задачи мы знаем один из корней этого уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$. Чтобы найти второй корень, $x_2$, удобно использовать теорему Виета.

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $q = -3$.
Подставим известный корень $x_1 = \frac{1}{2}$ в это соотношение:
$\frac{1}{2} \cdot x_2 = -3$
$x_2 = -3 \cdot 2$
$x_2 = -6$

Таким образом, вторая точка пересечения параболы с осью $x$ имеет абсциссу -6 и ординату 0.

Ответ: $(-6; 0)$.

966. Мастер и ученик изготовили в первый день 100 деталей. Во второй день мастер изготовил деталей на $20\%$ больше, а ученик — на $10\%$ больше, чем в первый день. Всего во второй день мастер и ученик изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил мастер и сколько изготовил ученик в первый день?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — количество деталей, которое изготовил мастер в первый день.

Пусть $y$ — количество деталей, которое изготовил ученик в первый день.

По условию, в первый день мастер и ученик вместе изготовили 100 деталей. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 100$

Во второй день производительность мастера увеличилась на 20%. Это значит, что он изготовил $100\% + 20\% = 120\%$ от количества деталей первого дня. В числовом выражении это $x \cdot 1.2$.

Производительность ученика во второй день увеличилась на 10%. Он изготовил $100\% + 10\% = 110\%$ от количества деталей первого дня. В числовом выражении это $y \cdot 1.1$.

По условию, во второй день они вместе изготовили 116 деталей. Составим второе уравнение:

$1.2x + 1.1y = 116$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 100 \\ 1.2x + 1.1y = 116 \end{cases}$

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 100 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$1.2x + 1.1(100 - x) = 116$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$1.2x + 110 - 1.1x = 116$

Приведем подобные слагаемые:

$0.1x + 110 = 116$

$0.1x = 116 - 110$

$0.1x = 6$

$x = 6 / 0.1$

$x = 60$

Мы нашли, что мастер в первый день изготовил 60 деталей. Теперь найдем, сколько деталей изготовил ученик, подставив значение $x$ в выражение $y = 100 - x$:

$y = 100 - 60$

$y = 40$

Ученик в первый день изготовил 40 деталей.

Ответ: в первый день мастер изготовил 60 деталей, а ученик изготовил 40 деталей.

967. Легковой автомобиль проехал за 2 ч на 10 км больше, чем грузовой за 3 ч. Если уменьшить скорость легкового автомобиля на 25%, а грузового на 20%, то грузовой автомобиль проедет за 5 ч на 20 км больше, чем легковой за 3 ч. Найдите скорость каждого автомобиля.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_л$ — первоначальная скорость легкового автомобиля в км/ч, а $v_г$ — первоначальная скорость грузового автомобиля в км/ч.

Согласно первому условию, легковой автомобиль за 2 часа проехал на 10 км больше, чем грузовой за 3 часа. Расстояние, которое проехал легковой автомобиль, составляет $2 \cdot v_л$ км, а грузовой — $3 \cdot v_г$ км. Можем составить первое уравнение:
$2v_л = 3v_г + 10$

Далее, по второму условию, скорость легкового автомобиля уменьшили на 25%. Его новая скорость стала равна $v_л - 0.25v_л = 0.75v_л$ км/ч. Скорость грузового автомобиля уменьшили на 20%, и его новая скорость стала равна $v_г - 0.20v_г = 0.8v_г$ км/ч.

С измененными скоростями грузовой автомобиль за 5 часов проехал на 20 км больше, чем легковой за 3 часа. Расстояние, пройденное грузовым автомобилем, равно $5 \cdot (0.8v_г) = 4v_г$ км, а легковым — $3 \cdot (0.75v_л) = 2.25v_л$ км. Составим второе уравнение:
$4v_г = 2.25v_л + 20$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 2v_л = 3v_г + 10 \\ 4v_г = 2.25v_л + 20 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $v_л$:
$v_л = \frac{3v_г + 10}{2} = 1.5v_г + 5$
Теперь подставим это выражение для $v_л$ во второе уравнение:
$4v_г = 2.25(1.5v_г + 5) + 20$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$4v_г = 3.375v_г + 11.25 + 20$
$4v_г = 3.375v_г + 31.25$
$4v_г - 3.375v_г = 31.25$
$0.625v_г = 31.25$
$v_г = \frac{31.25}{0.625} = 50$
Таким образом, первоначальная скорость грузового автомобиля равна 50 км/ч.

Теперь найдем первоначальную скорость легкового автомобиля, используя выражение для $v_л$:
$v_л = 1.5v_г + 5 = 1.5 \cdot 50 + 5 = 75 + 5 = 80$
Первоначальная скорость легкового автомобиля равна 80 км/ч.

Ответ: скорость легкового автомобиля — 80 км/ч, скорость грузового автомобиля — 50 км/ч.

968. На опытном поле под рожь отвели участок 20 га, а под пшеницу — 30 га. В прошлом году с обоих участков собрали 2300 ц зерна. В этом году урожайность ржи повысилась на 20%, а пшеницы — на 30% и поэтому собрали зерна на 610 ц больше, чем в прошлом году. Какой была урожайность каждой культуры в этом году?

Для решения этой задачи необходимо составить систему уравнений. Обозначим неизвестные переменные:

• Пусть $x$ — урожайность ржи в прошлом году (в центнерах с гектара, ц/га).
• Пусть $y$ — урожайность пшеницы в прошлом году (в ц/га).

Составление системы уравнений

Исходя из данных прошлого года, мы знаем, что с 20 га ржи и 30 га пшеницы собрали 2300 ц зерна. Это позволяет нам составить первое уравнение:

Общий сбор ржи: $20 \cdot x$

Общий сбор пшеницы: $30 \cdot y$

Суммарный сбор: $20x + 30y = 2300$

В этом году урожайность ржи повысилась на 20%, а урожайность пшеницы — на 30%. Таким образом, новые показатели урожайности:

Урожайность ржи в этом году: $x + 0.2x = 1.2x$

Урожайность пшеницы в этом году: $y + 0.3y = 1.3y$

Общий сбор зерна в этом году увеличился на 610 ц и составил $2300 + 610 = 2910$ ц. Составим второе уравнение на основе данных этого года:

Общий сбор ржи в этом году: $20 \cdot (1.2x) = 24x$

Общий сбор пшеницы в этом году: $30 \cdot (1.3y) = 39y$

Суммарный сбор: $24x + 39y = 2910$

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 20x + 30y = 2300 \\ 24x + 39y = 2910 \end{cases}$

Решение системы уравнений

Для удобства упростим уравнения. Разделим первое уравнение на 10, а второе на 3:

$\begin{cases} 2x + 3y = 230 \\ 8x + 13y = 970 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки или сложения. Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на -4, чтобы при сложении с вторым уравнением исключить переменную $x$:

$-4 \cdot (2x + 3y) = -4 \cdot 230 \implies -8x - 12y = -920$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-8x - 12y) + (8x + 13y) = -920 + 970$

$y = 50$

Итак, урожайность пшеницы в прошлом году составляла 50 ц/га.

Теперь подставим найденное значение $y = 50$ в упрощенное первое уравнение ($2x + 3y = 230$), чтобы найти $x$:

$2x + 3 \cdot 50 = 230$

$2x + 150 = 230$

$2x = 230 - 150$

$2x = 80$

$x = 40$

Следовательно, урожайность ржи в прошлом году составляла 40 ц/га.

Расчет урожайности в этом году

Основной вопрос задачи — найти урожайность каждой культуры в этом году.

1. Урожайность ржи в этом году повысилась на 20% от прошлогоднего показателя:

$40 \text{ ц/га} \cdot (1 + 0.20) = 40 \cdot 1.2 = 48 \text{ ц/га}$

2. Урожайность пшеницы в этом году повысилась на 30% от прошлогоднего показателя:

$50 \text{ ц/га} \cdot (1 + 0.30) = 50 \cdot 1.3 = 65 \text{ ц/га}$

Ответ: урожайность ржи в этом году составила 48 ц/га, а урожайность пшеницы — 65 ц/га.

969. Расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $160 \text{ км}$. Из $A$ в $B$ выехал велосипедист, и в то же время из $B$ в $A$ выехал мотоциклист. Их встреча произошла через $2 \text{ ч}$, а через $30 \text{ мин}$ после встречи велосипедисту осталось проехать в $11$ раз больше, чем мотоциклисту. Каковы скорости мотоциклиста и велосипедиста?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.
• Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч.

Общее расстояние между пунктами А и В составляет $S = 160$ км.

1. Составление первого уравнения.

Велосипедист и мотоциклист движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_в + v_м$.

По условию, они встретились через $t_{встр} = 2$ часа. За это время они вместе преодолели все расстояние $S$. Используя формулу $S = v \times t$, получаем:

$160 = (v_в + v_м) \times 2$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму скоростей:

$v_в + v_м = 80$

Это первое уравнение нашей системы.

2. Анализ ситуации после встречи и составление второго уравнения.

До момента встречи велосипедист проехал расстояние $S_в = v_в \times 2 = 2v_в$ км. Это расстояние от пункта А до места встречи.

Мотоциклист до встречи проехал расстояние $S_м = v_м \times 2 = 2v_м$ км. Это расстояние от пункта В до места встречи.

После встречи велосипедисту осталось проехать до пункта В расстояние, равное тому, что проехал мотоциклист до встречи, то есть $2v_м$ км. Мотоциклисту же осталось проехать до пункта А расстояние, равное $2v_в$ км.

Рассмотрим движение через 30 минут ($0.5$ часа) после встречи.

За эти 0.5 часа велосипедист проехал дополнительно $0.5 \times v_в$ км. Расстояние, которое ему осталось проехать до пункта В, составляет:

$d_{в, ост} = 2v_м - 0.5v_в$

За те же 0.5 часа мотоциклист проехал $0.5 \times v_м$ км. Расстояние, которое ему осталось проехать до пункта А, составляет:

$d_{м, ост} = 2v_в - 0.5v_м$

По условию задачи, оставшееся велосипедисту расстояние в 11 раз больше, чем оставшееся мотоциклисту:

$d_{в, ост} = 11 \times d_{м, ост}$

$2v_м - 0.5v_в = 11 \times (2v_в - 0.5v_м)$

Это второе уравнение системы.

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $v_в + v_м = 80$
2) $2v_м - 0.5v_в = 11(2v_в - 0.5v_м)$

Упростим второе уравнение, раскрыв скобки:

$2v_м - 0.5v_в = 22v_в - 5.5v_м$

Соберем слагаемые с $v_м$ в левой части, а с $v_в$ — в правой:

$2v_м + 5.5v_м = 22v_в + 0.5v_в$

$7.5v_м = 22.5v_в$

Разделим обе части на 7.5:

$v_м = 3v_в$

Теперь подставим это выражение для $v_м$ в первое уравнение:

$v_в + 3v_в = 80$

$4v_в = 80$

$v_в = \frac{80}{4} = 20$ км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:

$v_м = 3v_в = 3 \times 20 = 60$ км/ч.

4. Проверка.

Скорость велосипедиста 20 км/ч, скорость мотоциклиста 60 км/ч.

• Суммарная скорость: $20 + 60 = 80$ км/ч. Время до встречи: $160 / 80 = 2$ часа. (Верно).
• До встречи велосипедист проехал $20 \times 2 = 40$ км, а мотоциклист $60 \times 2 = 120$ км.
• После встречи велосипедисту осталось $120$ км, а мотоциклисту $40$ км.
• Через 30 минут (0.5 ч) после встречи велосипедисту осталось проехать $120 - 0.5 \times 20 = 120 - 10 = 110$ км.
• Через 30 минут (0.5 ч) после встречи мотоциклисту осталось проехать $40 - 0.5 \times 60 = 40 - 30 = 10$ км.
• Проверяем соотношение: $110 = 11 \times 10$. (Верно).

Все условия задачи выполнены.

Ответ: скорость мотоциклиста — 60 км/ч, скорость велосипедиста — 20 км/ч.