Страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

952. Решите уравнение, введя новую переменную:

a) $2(5x - 1)^2 + 35x - 11 = 0;$

б) $(x^2 + x - 3)^2 + 12x^2 + 12x - 9 = 0.$

а) $2(5x - 1)^2 + 35x - 11 = 0$

Чтобы решить это уравнение, заметим, что часть выражения $35x - 11$ можно преобразовать так, чтобы она содержала выражение $5x - 1$.

$35x - 11 = 7 \cdot 5x - 11 = 7(5x - 1) + 7 - 11 = 7(5x - 1) - 4$.

Теперь введем новую переменную. Пусть $t = 5x - 1$. Подставив это в исходное уравнение, получим:

$2t^2 + 7t - 4 = 0$.

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$.

1) При $t_1 = -4$:

$5x - 1 = -4$

$5x = -3$

$x_1 = -\frac{3}{5} = -0.6$.

2) При $t_2 = \frac{1}{2}$:

$5x - 1 = \frac{1}{2}$

$5x = 1 + \frac{1}{2}$

$5x = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{3}{10} = 0.3$.

Ответ: $-0.6; 0.3$.

б) $(x^2 + x - 3)^2 + 12x^2 + 12x - 9 = 0$

В этом уравнении можно заметить повторяющуюся структуру $x^2+x$. Преобразуем часть уравнения $12x^2 + 12x - 9$:

$12x^2 + 12x - 9 = 12(x^2 + x) - 9$.

Чтобы использовать замену $t = x^2 + x - 3$, выразим $12(x^2+x)-9$ через $t$:

$12(x^2 + x - 3) = 12x^2 + 12x - 36$.

Следовательно, $12x^2 + 12x - 9 = 12(x^2 + x - 3) + 36 - 9 = 12(x^2 + x - 3) + 27$.

Введем новую переменную $t = x^2 + x - 3$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 12t + 27 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней $t_1 + t_2 = -12$.

Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 27$.

Подбором находим корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = -9$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) При $t_1 = -9$:

$x^2 + x - 3 = -9$

$x^2 + x + 6 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Так как дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

2) При $t_2 = -3$:

$x^2 + x - 3 = -3$

$x^2 + x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$.

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$ или $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 0$.

953. Решите уравнение:

а) $x^4 - 16x^2 = 0;$

б) $x = x^3;$

в) $1,2x^3 + x = 0;$

г) $0,4x^4 = x^3;$

д) $x^3 + 6x^2 - 16x = 0;$

е) $x^4 + x^3 - 6x^2 = 0;$

ж) $x^3 + x^2 = 9x + 9;$

з) $2x^3 + 8x = x^2 + 4.$

а) $x^4 - 16x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 16) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x^2 = 0$, откуда получаем $x_1 = 0$.

2) $x^2 - 16 = 0$. Это разность квадратов: $(x-4)(x+4) = 0$.

Отсюда $x-4=0$ или $x+4=0$.

Получаем еще два корня: $x_2 = 4$ и $x_3 = -4$.

Ответ: $-4; 0; 4$.

б) $x = x^3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$.

2) $x^2 - 1 = 0$. Это разность квадратов: $(x-1)(x+1) = 0$.

Отсюда $x-1=0$ или $x+1=0$.

Получаем еще два корня: $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

Ответ: $-1; 0; 1$.

в) $1,2x^3 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1,2x^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$.

2) $1,2x^2 + 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть: $1,2x^2 = -1$.

$x^2 = -\frac{1}{1,2} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}$.

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.

Единственным решением является $x=0$.

Ответ: $0$.

г) $0,4x^4 = x^3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$0,4x^4 - x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(0,4x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x^3 = 0$, откуда $x_1 = 0$.

2) $0,4x - 1 = 0$.

$0,4x = 1$

$x_2 = \frac{1}{0,4} = \frac{10}{4} = 2,5$.

Ответ: $0; 2,5$.

д) $x^3 + 6x^2 - 16x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 6x - 16) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$.

2) $x^2 + 6x - 16 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а произведение $-16$. Подходят числа $-8$ и $2$.

$x_2 = -8$, $x_3 = 2$.

Можно также решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.

$x = \frac{-6 \pm 10}{2}$.

$x_2 = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

$x_3 = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $-8; 0; 2$.

е) $x^4 + x^3 - 6x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$.

2) $x^2 + x - 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-6$. Подходят числа $-3$ и $2$.

$x_2 = -3$, $x_3 = 2$.

Ответ: $-3; 0; 2$.

ж) $x^3 + x^2 = 9x + 9$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Сгруппируем члены:

$(x^3 + x^2) - (9x + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x + 1 = 0$, откуда $x_1 = -1$.

2) $x^2 - 9 = 0$, откуда $x^2=9$, $x_{2,3} = \pm 3$.

Ответ: $-3; -1; 3$.

з) $2x^3 + 8x = x^2 + 4$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$2x^3 - x^2 + 8x - 4 = 0$

Сгруппируем члены:

$(2x^3 - x^2) + (8x - 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(2x - 1) + 4(2x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x-1)$ за скобки:

$(x^2 + 4)(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $2x - 1 = 0$, откуда $2x = 1$, $x_1 = 0,5$.

2) $x^2 + 4 = 0$, откуда $x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Единственным решением является $x=0,5$.

Ответ: $0,5$.

954. Приведите уравнение к виду $x^n = a$ и решите его:

а) $\frac{1}{8}x^3 = 1$;

б) $1000x^3 + 1 = 0$;

в) $\frac{1}{27}x^3 = 0,001$;

г) $\frac{1}{9}x^4 - 16 = 0$;

д) $1 + x^5 = 0$;

е) $x^8 - 16 = 0$.

а) Исходное уравнение: $\frac{1}{8}x^3 = 1$.
Чтобы привести уравнение к виду $x^n = a$, умножим обе его части на 8:
$x^3 = 1 \cdot 8$
$x^3 = 8$
Так как показатель степени $n=3$ является нечетным числом, уравнение имеет один действительный корень.
$x = \sqrt[3]{8}$
$x = 2$
Ответ: 2

б) Исходное уравнение: $1000x^3 + 1 = 0$.
Приведем уравнение к виду $x^n = a$. Для этого перенесем 1 в правую часть и разделим обе части на 1000:
$1000x^3 = -1$
$x^3 = -\frac{1}{1000}$
Показатель степени $n=3$ — нечетное число, поэтому уравнение имеет один действительный корень.
$x = \sqrt[3]{-\frac{1}{1000}}$
$x = -\frac{1}{10} = -0,1$
Ответ: -0,1

в) Исходное уравнение: $\frac{1}{27}x^3 = 0,001$.
Приведем уравнение к виду $x^n = a$, умножив обе части на 27:
$x^3 = 0,001 \cdot 27$
$x^3 = 0,027$
Так как показатель степени $n=3$ нечетный, уравнение имеет один действительный корень.
$x = \sqrt[3]{0,027}$
$x = 0,3$
Ответ: 0,3

г) Исходное уравнение: $\frac{1}{9}x^4 - 16 = 0$.
Приведем уравнение к виду $x^n = a$. Перенесем -16 в правую часть и умножим обе части на 9:
$\frac{1}{9}x^4 = 16$
$x^4 = 16 \cdot 9$
$x^4 = 144$
Показатель степени $n=4$ — четное число, а правая часть $a=144$ положительна, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
$x = \pm\sqrt[4]{144}$
Упростим корень: $\sqrt[4]{144} = \sqrt[4]{12^2} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
$x = \pm 2\sqrt{3}$
Ответ: $\pm 2\sqrt{3}$

д) Исходное уравнение: $1 + x^5 = 0$.
Приведем уравнение к виду $x^n = a$, перенеся 1 в правую часть:
$x^5 = -1$
Показатель степени $n=5$ нечетный, поэтому уравнение имеет один действительный корень.
$x = \sqrt[5]{-1}$
$x = -1$
Ответ: -1

е) Исходное уравнение: $x^8 - 16 = 0$.
Приведем уравнение к виду $x^n = a$, перенеся -16 в правую часть:
$x^8 = 16$
Показатель степени $n=8$ — четное число, а правая часть $a=16$ положительна, значит, уравнение имеет два действительных корня.
$x = \pm\sqrt[8]{16}$
Упростим корень: $\sqrt[8]{16} = \sqrt[8]{2^4} = 2^{\frac{4}{8}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.
$x = \pm\sqrt{2}$
Ответ: $\pm\sqrt{2}$

955. Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли уравнение корни:

а) $\frac{1}{2}x - 2 = x^3;$

б) $-3x - 1 = \sqrt{x};$

в) $\frac{1}{x} = -x^2 + 1;$

г) $3 + x^2 = \frac{12}{x}.$

а) Для того чтобы выяснить, имеет ли уравнение $ \frac{1}{2}x - 2 = x^3 $ корни, рассмотрим графики двух функций: $ y = \frac{1}{2}x - 2 $ и $ y = x^3 $.
1. График функции $ y = \frac{1}{2}x - 2 $ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• Если $ x = 0 $, то $ y = -2 $. Точка (0, -2).
• Если $ x = 4 $, то $ y = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 0 $. Точка (4, 0).

2. График функции $ y = x^3 $ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат (0, 0) и расположенная в первом и третьем координатных квадрантах.
Схематически изобразив графики, мы видим, что прямая и кубическая парабола пересекаются. При $ x \to -\infty $ прямая находится выше параболы, а при $ x \to +\infty $ — ниже. Поскольку обе функции непрерывны, их графики должны пересечься. Так как прямая возрастает медленнее, чем кубическая парабола, у них будет только одна точка пересечения.
Ответ: уравнение имеет один корень.

б) Рассмотрим уравнение $ -3x - 1 = \sqrt{x} $. Построим графики функций $ y = -3x - 1 $ и $ y = \sqrt{x} $.
1. График функции $ y = \sqrt{x} $ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения этой функции $ D(y): x \ge 0 $. Область значений $ E(y): y \ge 0 $.
2. График функции $ y = -3x - 1 $ — это прямая, проходящая через точки (0, -1) и (-1/3, 0).
Для того чтобы уравнение имело решение, левая и правая части должны быть равны. Так как $ \sqrt{x} \ge 0 $, то и левая часть должна быть неотрицательной: $ -3x - 1 \ge 0 $, что означает $ -3x \ge 1 $, или $ x \le -\frac{1}{3} $.
Таким образом, мы имеем два условия: $ x \ge 0 $ (из области определения корня) и $ x \le -\frac{1}{3} $ (из области значений корня). Эти два условия не могут выполняться одновременно. Следовательно, графики функций не пересекаются.
Схематически, график $ y=\sqrt{x} $ расположен в первом квадранте, а прямая $ y=-3x-1 $ в области $ x \ge 0 $ полностью находится в четвертом квадранте. Точек пересечения нет.
Ответ: уравнение не имеет корней.

в) Рассмотрим уравнение $ \frac{1}{x} = -x^2 + 1 $. Построим графики функций $ y = \frac{1}{x} $ и $ y = -x^2 + 1 $.
1. График функции $ y = \frac{1}{x} $ — это гипербола с ветвями в первом и третьем координатных квадрантах. Область определения $ x \ne 0 $.
2. График функции $ y = -x^2 + 1 $ — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 1).
Рассмотрим две области:

• При $ x > 0 $: ветвь гиперболы находится в первом квадранте. Парабола также проходит здесь. При $ x \to 0^+ $, гипербола $ y \to +\infty $, а парабола $ y \to 1 $. При $ x=1 $, гипербола $ y=1 $, а парабола $ y=0 $. Можно показать, что для $ x>0 $ всегда $ \frac{1}{x} > -x^2+1 $, поэтому пересечений в этой области нет.
• При $ x < 0 $: ветвь гиперболы находится в третьем квадранте (всегда $ y < 0 $). Парабола при $ x < -1 $ также принимает отрицательные значения. Например, при $ x=-1 $ гипербола $ y=-1 $, а парабола $ y=0 $. При $ x=-2 $ гипербола $ y=-0.5 $, а парабола $ y=-3 $. Поскольку при $ x=-1 $ парабола выше гиперболы, а при $ x=-2 $ — ниже, и обе функции непрерывны на интервале $ (-\infty, 0) $, их графики должны пересечься на интервале (-2, -1). Это и будет единственная точка пересечения.

Ответ: уравнение имеет один корень.

г) Рассмотрим уравнение $ 3 + x^2 = \frac{12}{x} $. Построим графики функций $ y = 3 + x^2 $ и $ y = \frac{12}{x} $.
1. График функции $ y = 3 + x^2 $ — это парабола с ветвями вверх, смещенная на 3 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке (0, 3). Все значения функции положительны и не меньше 3 ($ y \ge 3 $).
2. График функции $ y = \frac{12}{x} $ — это гипербола с ветвями в первом и третьем квадрантах.
Рассмотрим две области:

• При $ x < 0 $: значения функции $ y = 3 + x^2 $ всегда положительны, а значения функции $ y = \frac{12}{x} $ всегда отрицательны. Следовательно, в этой области графики не могут пересечься.
• При $ x > 0 $: обе функции положительны. Функция $ y = 3 + x^2 $ возрастает, а функция $ y = \frac{12}{x} $ убывает. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Проверим, есть ли пересечение: при $ x = 1 $ парабола $ y = 4 $, а гипербола $ y = 12 $; при $ x = 2 $ парабола $ y = 7 $, а гипербола $ y = 6 $. Так как в точке $ x=1 $ график параболы ниже графика гиперболы, а в точке $ x=2 $ — выше, то на интервале (1, 2) должно быть пересечение.

Ответ: уравнение имеет один корень.

956. Решите графически уравнение:

а) $x^3 = 7x - 6;$

б) $\frac{6}{x} = 0,5x - 2;$

в) $\frac{4}{x} = x^2 - 2x;$

г) $\sqrt{x} = x^3.$

а) $x^3 = 7x - 6$

Чтобы решить уравнение графически, представим его в виде равенства двух функций. Решениями исходного уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

Рассмотрим две функции: $y = x^3$ и $y = 7x - 6$.

1. Построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Для построения найдем несколько точек:

• при $x = 0$, $y = 0^3 = 0$; (0, 0)
• при $x = 1$, $y = 1^3 = 1$; (1, 1)
• при $x = 2$, $y = 2^3 = 8$; (2, 8)
• при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$; (-1, -1)
• при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$; (-2, -8)
• при $x = -3$, $y = (-3)^3 = -27$; (-3, -27)

2. Построим график функции $y = 7x - 6$. Это прямая. Для построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = 7 \cdot 0 - 6 = -6$; (0, -6)
• при $x = 1$, $y = 7 \cdot 1 - 6 = 1$; (1, 1)

3. Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим три точки пересечения. Найдем их координаты. Проверяя точки, которые мы использовали для построения, можно заметить, что некоторые из них являются общими для обоих графиков:

• Точка (1, 1): $1^3 = 1$ и $7 \cdot 1 - 6 = 1$. Следовательно, $x=1$ — корень уравнения.
• Точка (2, 8): $2^3 = 8$ и $7 \cdot 2 - 6 = 14 - 6 = 8$. Следовательно, $x=2$ — корень уравнения.
• Проверим точку с $x = -3$ для прямой: $y = 7(-3) - 6 = -21 - 6 = -27$. Эта точка $(-3, -27)$ также принадлежит графику $y=x^3$. Следовательно, $x=-3$ — корень уравнения.

Графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых равны -3, 1 и 2.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1, x_3 = 2$.

б) $\frac{6}{x} = 0,5x - 2$

Представим уравнение в виде равенства двух функций: $y = \frac{6}{x}$ и $y = 0,5x - 2$. Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения их графиков.

1. Построим график функции $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Область определения: $x \neq 0$. Составим таблицу значений:

• $x=1, y=6$
• $x=2, y=3$
• $x=3, y=2$
• $x=6, y=1$
• $x=-1, y=-6$
• $x=-2, y=-3$
• $x=-3, y=-2$
• $x=-6, y=-1$

2. Построим график функции $y = 0,5x - 2$. Это прямая. Для построения найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 2 = -2$; (0, -2)
• при $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4 - 2 = 0$; (4, 0)

3. Построим графики в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Найдем их координаты:

• Первая точка пересечения имеет координаты (6, 1). Проверим: $\frac{6}{6} = 1$ и $0,5 \cdot 6 - 2 = 3 - 2 = 1$. Значит, $x=6$ является корнем уравнения.
• Вторая точка пересечения имеет координаты (-2, -3). Проверим: $\frac{6}{-2} = -3$ и $0,5 \cdot (-2) - 2 = -1 - 2 = -3$. Значит, $x=-2$ является корнем уравнения.

Абсциссы точек пересечения - это решения уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 6$.

в) $\frac{4}{x} = x^2 - 2x$

Представим уравнение в виде равенства двух функций: $y = \frac{4}{x}$ и $y = x^2 - 2x$. Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения их графиков.

1. Построим график функции $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Область определения: $x \neq 0$. Некоторые точки графика: (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2).

2. Построим график функции $y = x^2 - 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина находится в точке (1, -1). Парабола пересекает ось Ox в точках, где $x^2-2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0$, то есть в точках (0, 0) и (2, 0).

3. Построим графики в одной системе координат.

• При $x < 0$ график функции $y = \frac{4}{x}$ лежит в III четверти (y < 0), а график функции $y = x^2 - 2x = x(x-2)$ лежит во II четверти (y > 0), так как оба множителя $x$ и $x-2$ отрицательны. Следовательно, при $x < 0$ пересечений нет.
• При $x > 0$ ветвь гиперболы лежит в I четверти. Парабола проходит через точки (0,0), (1, -1) и (2,0), а затем уходит вверх. В точке $x=2$ значение гиперболы $y=\frac{4}{2}=2$, а значение параболы $y=0$. При $x>2$ обе функции возрастают, но парабола растет быстрее. Так как в точке $x=2$ значение гиперболы больше значения параболы, а при больших $x$ парабола обгонит гиперболу, графики должны пересечься в одной точке при $x>2$.

Из графика видно, что точка пересечения одна, и ее абсцисса находится между 2 и 3. Приблизительное значение можно оценить, подставив значения. Например, при $x=2,6$: $y = \frac{4}{2,6} \approx 1,54$ и $y = (2,6)^2 - 2 \cdot 2,6 = 6,76 - 5,2 = 1,56$. Значения очень близки, так что абсцисса точки пересечения примерно равна 2,6.

Ответ: $x \approx 2,6$.

г) $\sqrt{x} = x^3$

Представим уравнение в виде равенства двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = x^3$. Область допустимых значений для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$.

1. Построим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

2. Построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола. Так как $x \ge 0$, мы рассматриваем только ее правую ветвь. График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 8).

3. Построим оба графика в одной системе координат (только для $x \ge 0$).

Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках:

• Точка (0, 0): $\sqrt{0}=0$ и $0^3=0$. Следовательно, $x=0$ — корень уравнения.
• Точка (1, 1): $\sqrt{1}=1$ и $1^3=1$. Следовательно, $x=1$ — корень уравнения.

При $0 < x < 1$ график $y=\sqrt{x}$ лежит выше графика $y=x^3$ (например, при $x=1/4$, $\sqrt{x}=1/2$, а $x^3=1/64$). При $x>1$ график $y=x^3$ лежит выше графика $y=\sqrt{x}$ (например, при $x=4$, $\sqrt{x}=2$, а $x^3=64$). Других точек пересечения нет.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

957. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 4x - y = 17, \\ y + 6x = 23; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x - 10y = 11, \\ 5y + 7x = 19; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x = y + 50, \\ -3,4x + 2,6y = 14; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4x - 2y = 3, \\ 13x + 6y = -1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x - y = 17 \\ y + 6x = 23 \end{cases}$

Для удобства решения методом сложения, приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые:

$\begin{cases} 4x - y = 17 \\ 6x + y = 23 \end{cases}$

Теперь сложим левые и правые части уравнений. Переменная $y$ сократится.

$(4x - y) + (6x + y) = 17 + 23$

$10x = 40$

Найдем $x$:

$x = \frac{40}{10}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x=4$ в любое из исходных уравнений, например, во второе, чтобы найти $y$:

$y + 6 \cdot 4 = 23$

$y + 24 = 23$

$y = 23 - 24$

$y = -1$

Ответ: $x=4, y=-1$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 5y + 7x = 19 \end{cases}$

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$\begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 7x + 5y = 19 \end{cases}$

Воспользуемся методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:

$\begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 2(7x + 5y) = 2 \cdot 19 \end{cases}$

$\begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 14x + 10y = 38 \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(6x - 10y) + (14x + 10y) = 11 + 38$

$20x = 49$

$x = \frac{49}{20} = 2,45$

Подставим значение $x = 2,45$ в уравнение $7x + 5y = 19$:

$7 \cdot 2,45 + 5y = 19$

$17,15 + 5y = 19$

$5y = 19 - 17,15$

$5y = 1,85$

$y = \frac{1,85}{5} = 0,37$

Ответ: $x = 2,45, y = 0,37$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x = y + 50 \\ -3,4x + 2,6y = 14 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 5x - 50$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$-3,4x + 2,6(5x - 50) = 14$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$-3,4x + 13x - 130 = 14$

$9,6x = 14 + 130$

$9,6x = 144$

$x = \frac{144}{9,6} = \frac{1440}{96} = 15$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=15$ в выражение $y = 5x - 50$:

$y = 5 \cdot 15 - 50$

$y = 75 - 50$

$y = 25$

Ответ: $x=15, y=25$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x - 2y = 3 \\ 13x + 6y = -1 \end{cases}$

Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$\begin{cases} 3(4x - 2y) = 3 \cdot 3 \\ 13x + 6y = -1 \end{cases}$

$\begin{cases} 12x - 6y = 9 \\ 13x + 6y = -1 \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(12x - 6y) + (13x + 6y) = 9 + (-1)$

$25x = 8$

$x = \frac{8}{25}$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение $4x - 2y = 3$:

$4 \cdot (\frac{8}{25}) - 2y = 3$

$\frac{32}{25} - 2y = 3$

Выразим $2y$:

$2y = \frac{32}{25} - 3$

$2y = \frac{32}{25} - \frac{75}{25}$

$2y = -\frac{43}{25}$

$y = -\frac{43}{25} \cdot \frac{1}{2}$

$y = -\frac{43}{50}$

Ответ: $x = \frac{8}{25}, y = -\frac{43}{50}$.

958. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \frac{2x - y}{3} - \frac{x - 2y}{2} = \frac{3}{2}, \\ \frac{2x + y}{2} - \frac{x + 2y}{3} = \frac{1}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x - y + 1}{2} + \frac{x + y - 1}{5} = 7, \\ \frac{x - y + 1}{3} - \frac{x + y - 1}{4} = -3. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2x - y}{3} - \frac{x - 2y}{2} = \frac{3}{2} \\ \frac{2x + y}{2} - \frac{x + 2y}{3} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение системы, приведя дроби к общему знаменателю.

Для первого уравнения общий знаменатель равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{2x - y}{3} - 6 \cdot \frac{x - 2y}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2}$

$2(2x - y) - 3(x - 2y) = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x - 2y - 3x + 6y = 9$

$x + 4y = 9$

Для второго уравнения общий знаменатель также равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{2x + y}{2} - 6 \cdot \frac{x + 2y}{3} = 6 \cdot \frac{1}{3}$

$3(2x + y) - 2(x + 2y) = 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6x + 3y - 2x - 4y = 2$

$4x - y = 2$

В результате мы получили более простую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + 4y = 9 \\ 4x - y = 2 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 9 - 4y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$4(9 - 4y) - y = 2$

$36 - 16y - y = 2$

$36 - 17y = 2$

$-17y = 2 - 36$

$-17y = -34$

$y = 2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=2$ в выражение для $x$:

$x = 9 - 4(2) = 9 - 8 = 1$

Таким образом, решение системы: $x=1, y=2$.

Ответ: $(1; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x - y + 1}{2} + \frac{x + y - 1}{5} = 7 \\ \frac{x - y + 1}{3} - \frac{x + y - 1}{4} = -3 \end{cases} $$

Чтобы упростить систему, введем новые переменные. Пусть $a = x - y + 1$ и $b = x + y - 1$.

Подставив новые переменные, получим систему:

$$ \begin{cases} \frac{a}{2} + \frac{b}{5} = 7 \\ \frac{a}{3} - \frac{b}{4} = -3 \end{cases} $$

Решим эту систему относительно $a$ и $b$. Умножим первое уравнение на 10 (наименьшее общее кратное для 2 и 5), а второе на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4):

$$ \begin{cases} 5a + 2b = 70 \\ 4a - 3b = -36 \end{cases} $$

Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными числами:

$$ \begin{cases} 15a + 6b = 210 \\ 8a - 6b = -72 \end{cases} $$

Сложим почленно уравнения системы:

$(15a + 8a) + (6b - 6b) = 210 - 72$

$23a = 138$

$a = \frac{138}{23} = 6$

Подставим найденное значение $a=6$ в уравнение $5a + 2b = 70$:

$5(6) + 2b = 70$

$30 + 2b = 70$

$2b = 40$

$b = 20$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x - y + 1 = 6 \\ x + y - 1 = 20 \end{cases} $$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$$ \begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 21 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(x - y) + (x + y) = 5 + 21$

$2x = 26$

$x = 13$

Подставим значение $x=13$ в уравнение $x + y = 21$:

$13 + y = 21$

$y = 21 - 13 = 8$

Таким образом, решение системы: $x=13, y=8$.

Ответ: $(13; 8)$.

959. Решите систему уравнений

$\begin{cases} ax - 3y = 13, \\ 2x + by = 5 \end{cases}$

с переменными $x$ и $y$, если одним из решений первого уравнения является пара чисел $(8; 1)$, а второго — пара чисел $(5; -1)$.

Для решения задачи сначала найдем значения параметров $a$ и $b$, используя данные условия, а затем решим полученную систему уравнений.

Согласно условию, пара чисел $(8; 1)$ является решением первого уравнения $ax - 3y = 13$. Это означает, что при подстановке $x = 8$ и $y = 1$ в это уравнение, мы получим верное равенство. Найдем коэффициент $a$:
$a \cdot 8 - 3 \cdot 1 = 13$
$8a - 3 = 13$
$8a = 13 + 3$
$8a = 16$
$a = \frac{16}{8}$
$a = 2$

Аналогично, по условию, пара чисел $(5; -1)$ является решением второго уравнения $2x + by = 5$. Подставим в него $x = 5$ и $y = -1$, чтобы найти коэффициент $b$:
$2 \cdot 5 + b \cdot (-1) = 5$
$10 - b = 5$
$-b = 5 - 10$
$-b = -5$
$b = 5$

Теперь, когда мы определили, что $a=2$ и $b=5$, мы можем записать исходную систему с этими коэффициентами и решить её: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 13 \\ 2x + 5y = 5 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно применить метод алгебраического сложения (в данном случае — вычитания). Вычтем второе уравнение из первого:
$(2x - 3y) - (2x + 5y) = 13 - 5$
$2x - 3y - 2x - 5y = 8$
$-8y = 8$
$y = \frac{8}{-8}$
$y = -1$

Теперь подставим найденное значение $y = -1$ в любое из уравнений системы, например, в первое ($2x - 3y = 13$), чтобы найти значение $x$:
$2x - 3(-1) = 13$
$2x + 3 = 13$
$2x = 13 - 3$
$2x = 10$
$x = \frac{10}{2}$
$x = 5$

Следовательно, решением системы является пара чисел $(5; -1)$.

Ответ: $(5; -1)$