Номер 952, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

952. Решите уравнение, введя новую переменную:

a) $2(5x - 1)^2 + 35x - 11 = 0;$

б) $(x^2 + x - 3)^2 + 12x^2 + 12x - 9 = 0.$

а) $2(5x - 1)^2 + 35x - 11 = 0$

Чтобы решить это уравнение, заметим, что часть выражения $35x - 11$ можно преобразовать так, чтобы она содержала выражение $5x - 1$.

$35x - 11 = 7 \cdot 5x - 11 = 7(5x - 1) + 7 - 11 = 7(5x - 1) - 4$.

Теперь введем новую переменную. Пусть $t = 5x - 1$. Подставив это в исходное уравнение, получим:

$2t^2 + 7t - 4 = 0$.

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$.

1) При $t_1 = -4$:

$5x - 1 = -4$

$5x = -3$

$x_1 = -\frac{3}{5} = -0.6$.

2) При $t_2 = \frac{1}{2}$:

$5x - 1 = \frac{1}{2}$

$5x = 1 + \frac{1}{2}$

$5x = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{3}{10} = 0.3$.

Ответ: $-0.6; 0.3$.

б) $(x^2 + x - 3)^2 + 12x^2 + 12x - 9 = 0$

В этом уравнении можно заметить повторяющуюся структуру $x^2+x$. Преобразуем часть уравнения $12x^2 + 12x - 9$:

$12x^2 + 12x - 9 = 12(x^2 + x) - 9$.

Чтобы использовать замену $t = x^2 + x - 3$, выразим $12(x^2+x)-9$ через $t$:

$12(x^2 + x - 3) = 12x^2 + 12x - 36$.

Следовательно, $12x^2 + 12x - 9 = 12(x^2 + x - 3) + 36 - 9 = 12(x^2 + x - 3) + 27$.

Введем новую переменную $t = x^2 + x - 3$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 12t + 27 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней $t_1 + t_2 = -12$.

Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 27$.

Подбором находим корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = -9$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) При $t_1 = -9$:

$x^2 + x - 3 = -9$

$x^2 + x + 6 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Так как дискриминант $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

2) При $t_2 = -3$:

$x^2 + x - 3 = -3$

$x^2 + x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$.

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$ или $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 0$.