Номер 946, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

946. Токарь должен был обработать 240 деталей к определённому сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, и потому выполнил задание на 4 ч раньше срока. Сколько деталей в час должен был обрабатывать токарь?

Пусть $x$ деталей в час — это производительность, которую токарь должен был иметь по плану. Тогда время, необходимое для обработки 240 деталей, составило бы $\frac{240}{x}$ часов.

После усовершенствования резца токарь стал обрабатывать на 2 детали в час больше. Его новая производительность стала $(x + 2)$ деталей в час. Фактическое время, затраченное на работу, составило $\frac{240}{x+2}$ часов.

По условию задачи, он выполнил задание на 4 часа раньше срока. Это означает, что разница между плановым временем и фактическим временем составляет 4 часа. Составим и решим уравнение:

$\frac{240}{x} - \frac{240}{x+2} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+2} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$. Ограничения на переменную: $x > 0$, так как производительность не может быть отрицательной или равной нулю.

$\frac{60(x+2) - 60x}{x(x+2)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{60x + 120 - 60x}{x^2 + 2x} = 1$

$\frac{120}{x^2 + 2x} = 1$

Из этого следует:

$x^2 + 2x = 120$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$

$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку $x$ обозначает количество деталей, производимых в час, это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи.

Единственный подходящий корень — $x = 10$. Таким образом, по плану токарь должен был обрабатывать 10 деталей в час.

Проверка:
Плановое время: $\frac{240}{10} = 24$ часа.
Фактическая производительность: $10 + 2 = 12$ деталей в час.
Фактическое время: $\frac{240}{12} = 20$ часов.
Разница во времени: $24 - 20 = 4$ часа. Условия задачи выполнены.

Ответ: 10 деталей в час.