Номер 940, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

940. Решите уравнение:

а) $\frac{x}{x - 3} - \frac{5}{x + 3} = \frac{18}{x^2 - 9};$

б) $\frac{70}{x^2 - 16} - \frac{17}{x - 4} = \frac{3x}{x + 4};$

в) $\frac{3}{(2 - x)^2} - \frac{5}{(x + 2)^2} = \frac{14}{x^2 - 4};$

г) $\frac{2}{4 - x^2} - \frac{1}{2x - 4} - \frac{7}{2x^2 + 4x} = 0;$

д) $\frac{1}{x^2 - 9} + \frac{1}{3x - x^2} = \frac{3}{2x + 6};$

е) $\frac{2}{1 - x^2} - \frac{1}{1 - x} + \frac{4}{(x + 1)^2} = 0;$

ж) $\frac{2}{x^2 + 5x} + \frac{3}{2x - 10} = \frac{15}{x^2 - 25};$

з) $\frac{5}{2x + 6} - \frac{1}{6x^2 - 18x} = \frac{29}{27 - 3x^2}.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-3} - \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2-9} $

Разложим знаменатель в правой части на множители: $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $ x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 $ $ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $ Таким образом, ОДЗ: $ x \neq \pm 3 $.

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (x-3)(x+3) $: $ \frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{5(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{18}{(x-3)(x+3)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-3)(x+3) $, чтобы избавиться от дробей, учитывая ОДЗ: $ x(x+3) - 5(x-3) = 18 $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $ x^2 + 3x - 5x + 15 = 18 $ $ x^2 - 2x + 15 - 18 = 0 $ $ x^2 - 2x - 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $ x_1 = 3, x_2 = -1 $. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_1 = 3 $ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $ x_2 = -1 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1

б)

Исходное уравнение: $ \frac{70}{x^2-16} - \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4} $

Разложим знаменатель $ x^2-16 = (x-4)(x+4) $. ОДЗ: $ x \neq \pm 4 $.

Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю $ (x-4)(x+4) $: $ \frac{70}{(x-4)(x+4)} - \frac{17(x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{3x(x-4)}{(x-4)(x+4)} = 0 $

Умножим на знаменатель $ (x-4)(x+4) $ (при $ x \neq \pm 4 $): $ 70 - 17(x+4) - 3x(x-4) = 0 $ $ 70 - 17x - 68 - 3x^2 + 12x = 0 $ $ -3x^2 - 5x + 2 = 0 $ $ 3x^2 + 5x - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $ $ x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 $ $ x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Оба корня, -2 и $ \frac{1}{3} $, входят в ОДЗ.

Ответ: -2; $ \frac{1}{3} $

в)

Исходное уравнение: $ \frac{3}{(2-x)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{x^2-4} $

Учтем, что $ (2-x)^2 = (x-2)^2 $ и $ x^2-4=(x-2)(x+2) $. ОДЗ: $ x \neq \pm 2 $. Уравнение принимает вид: $ \frac{3}{(x-2)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{(x-2)(x+2)} $

Общий знаменатель: $ (x-2)^2(x+2)^2 $. Умножим на него обе части уравнения: $ 3(x+2)^2 - 5(x-2)^2 = 14(x-2)(x+2) $ $ 3(x^2+4x+4) - 5(x^2-4x+4) = 14(x^2-4) $ $ 3x^2+12x+12 - 5x^2+20x-20 = 14x^2-56 $ $ -2x^2+32x-8 = 14x^2-56 $ $ 16x^2-32x-48 = 0 $

Разделим все уравнение на 16: $ x^2-2x-3 = 0 $ Корни этого уравнения $ x_1 = 3, x_2 = -1 $ (как в пункте а).

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \pm 2 $).

Ответ: -1; 3

г)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{4-x^2} - \frac{1}{2x-4} - \frac{7}{2x^2+4x} = 0 $

Разложим знаменатели на множители: $ 4-x^2 = -(x^2-4) = -(x-2)(x+2) $ $ 2x-4 = 2(x-2) $ $ 2x^2+4x = 2x(x+2) $ ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2 $.

Перепишем уравнение: $ \frac{2}{-(x-2)(x+2)} - \frac{1}{2(x-2)} - \frac{7}{2x(x+2)} = 0 $ Умножим на -1 для удобства: $ \frac{2}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{2(x-2)} + \frac{7}{2x(x+2)} = 0 $

Общий знаменатель $ 2x(x-2)(x+2) $. Умножим на него: $ 2(2x) + 1(x(x+2)) + 7(x-2) = 0 $ $ 4x + x^2+2x + 7x-14 = 0 $ $ x^2+13x-14 = 0 $

По теореме Виета: $ x_1 = 1, x_2 = -14 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -14; 1

д)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x^2-9} + \frac{1}{3x-x^2} = \frac{3}{2x+6} $

Разложим знаменатели: $ x^2-9=(x-3)(x+3) $ $ 3x-x^2 = -x(x-3) $ $ 2x+6 = 2(x+3) $ ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq \pm 3 $.

Перепишем уравнение: $ \frac{1}{(x-3)(x+3)} - \frac{1}{x(x-3)} = \frac{3}{2(x+3)} $ Общий знаменатель $ 2x(x-3)(x+3) $. Умножим на него: $ 1(2x) - 1(2(x+3)) = 3(x(x-3)) $ $ 2x - 2x - 6 = 3x^2 - 9x $ $ -6 = 3x^2 - 9x $ $ 3x^2 - 9x + 6 = 0 $

Разделим уравнение на 3: $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ По теореме Виета: $ x_1=1, x_2=2 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1; 2

е)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{1-x} + \frac{4}{(x+1)^2} = 0 $

Разложим знаменатели: $ 1-x^2 = (1-x)(1+x) $ ОДЗ: $ x \neq \pm 1 $.

Общий знаменатель $ (1-x)(1+x)^2 $. Умножим на него: $ 2(1+x) - 1(1+x)^2 + 4(1-x) = 0 $ $ 2+2x - (1+2x+x^2) + 4-4x = 0 $ $ 2+2x-1-2x-x^2+4-4x=0 $ $ -x^2-4x+5=0 $ $ x^2+4x-5=0 $

По теореме Виета: $ x_1=-5, x_2=1 $. Корень $ x_2 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним. Корень $ x_1 = -5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -5

ж)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25} $

Разложим знаменатели: $ x^2+5x = x(x+5) $ $ 2x-10 = 2(x-5) $ $ x^2-25 = (x-5)(x+5) $ ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq \pm 5 $.

Общий знаменатель $ 2x(x-5)(x+5) $. Умножим на него: $ 2 \cdot 2(x-5) + 3 \cdot x(x+5) = 15 \cdot 2x $ $ 4(x-5) + 3x(x+5) = 30x $ $ 4x-20+3x^2+15x = 30x $ $ 3x^2+19x-20 = 30x $ $ 3x^2-11x-20 = 0 $

Решим через дискриминант: $ D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2 $ $ x_1 = \frac{11-19}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} $ $ x_2 = \frac{11+19}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $

Корень $ x_2 = 5 $ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_1 = -\frac{4}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{4}{3} $

з)

Исходное уравнение: $ \frac{5}{2x+6} - \frac{1}{6x^2-18x} = \frac{29}{27-3x^2} $

Разложим знаменатели: $ 2x+6 = 2(x+3) $ $ 6x^2-18x = 6x(x-3) $ $ 27-3x^2 = 3(9-x^2) = -3(x^2-9) = -3(x-3)(x+3) $ ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq \pm 3 $.

Перепишем уравнение: $ \frac{5}{2(x+3)} - \frac{1}{6x(x-3)} = -\frac{29}{3(x-3)(x+3)} $ Общий знаменатель $ 6x(x-3)(x+3) $. Умножим на него: $ 5 \cdot 3x(x-3) - 1 \cdot (x+3) = -29 \cdot 2x $ $ 15x(x-3) - (x+3) = -58x $ $ 15x^2-45x-x-3 = -58x $ $ 15x^2-46x-3 = -58x $ $ 15x^2+12x-3 = 0 $

Разделим уравнение на 3: $ 5x^2+4x-1=0 $ Решим через дискриминант: $ D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16+20 = 36 = 6^2 $ $ x_1 = \frac{-4-6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $ $ x_2 = \frac{-4+6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; $ \frac{1}{5} $