Номер 943, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Уравнения и системы уравнений. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 943, страница 230.

943. Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в стоячей воде. Согласно условию задачи, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки составляет $v_{по\;теч.} = (x + 3)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $v_{против\;теч.} = (x - 3)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Лодка прошла расстояние $S = 36$ км по течению. Время, затраченное на этот путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$:

$t_1 = \frac{36}{x + 3}$ ч.

На обратный путь против течения лодка затратила следующее время:

$t_2 = \frac{36}{x - 3}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов. Можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$t_1 + t_2 = 5$

$\frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$:

$\frac{36(x - 3) + 36(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 5$

$\frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5$

$\frac{72x}{x^2 - 9} = 5$

Теперь умножим обе части уравнения на $(x^2 - 9)$, при условии, что $x^2 - 9 \neq 0$ (т.е. $x \neq \pm 3$):

$72x = 5(x^2 - 9)$

$72x = 5x^2 - 45$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 72x - 45 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$

$x_2 = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$

Корень $x_2 = -0.6$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $x > 3$.

Таким образом, скорость моторной лодки в стоячей воде составляет 15 км/ч.

Проверка:

Время движения по течению: $t_1 = \frac{36}{15 + 3} = \frac{36}{18} = 2$ часа.

Время движения против течения: $t_2 = \frac{36}{15 - 3} = \frac{36}{12} = 3$ часа.

Общее время: $t_1 + t_2 = 2 + 3 = 5$ часов. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 15 км/ч.