Номер 942, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

942. Две автомашины отправились одновременно из села в город, который удалён на $180 \text{ км}$. Одна автомашина пришла в город на $45 \text{ мин}$ позже другой, так как её скорость была на $20 \text{ км/ч}$ меньше. С какой скоростью шла каждая автомашина?

Для решения задачи обозначим скорость одной (более быстрой) автомашины как $v$ км/ч. По условию, скорость второй автомашины на 20 км/ч меньше, следовательно, она равна $(v - 20)$ км/ч. Обе автомашины должны проехать расстояние $S = 180$ км.

Время, которое затратила на путь первая (быстрая) автомашина, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v}$, то есть $t_1 = \frac{180}{v}$ часов.

Время, которое затратила на путь вторая (медленная) автомашина, равно $t_2 = \frac{S}{v-20}$, то есть $t_2 = \frac{180}{v-20}$ часов.

В условии сказано, что одна автомашина пришла в город на 45 минут позже другой. Так как вторая автомашина двигалась медленнее, именно она затратила больше времени. Переведем разницу во времени в часы:

$45 \text{ минут} = \frac{45}{60} \text{ часа} = \frac{3}{4}$ часа.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени $t_2 - t_1$ к $\frac{3}{4}$ часа:

$\frac{180}{v - 20} - \frac{180}{v} = \frac{3}{4}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v - 20)$:

$\frac{180v - 180(v - 20)}{v(v - 20)} = \frac{3}{4}$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$\frac{180v - 180v + 3600}{v^2 - 20v} = \frac{3}{4}$

$\frac{3600}{v^2 - 20v} = \frac{3}{4}$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 3:

$\frac{1200}{v^2 - 20v} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$1 \cdot (v^2 - 20v) = 1200 \cdot 4$

$v^2 - 20v = 4800$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 - 20v - 4800 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v = \frac{-(-20) \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 140}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$v_1 = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость первой (быстрой) автомашины равна 80 км/ч.

Найдем скорость второй автомашины:

$v - 20 = 80 - 20 = 60$ км/ч.

Таким образом, скорости автомашин равны 80 км/ч и 60 км/ч.

Ответ: скорость одной автомашины 80 км/ч, а скорость другой — 60 км/ч.