Номер 945, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

945. Катер прошёл 75 км по течению реки и столько же против течения. На весь путь он затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения равна 5 км/ч?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение.

Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость катера (скорость в стоячей воде). Это значение нам и нужно найти.

Из условия задачи известно, что скорость течения реки равна 5 км/ч. Тогда:

• Скорость катера по течению реки: $v_{по} = (x + 5)$ км/ч.
• Скорость катера против течения реки: $v_{против} = (x - 5)$ км/ч.

Катер прошел 75 км по течению и 75 км против течения. Найдем время, затраченное на каждый участок пути, используя формулу времени $t = S/v$ :

• Время движения по течению: $t_{по} = \frac{75}{x+5}$ ч.
• Время движения против течения: $t_{против} = \frac{75}{x-5}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, равно сумме времени движения по течению и против течения:

$T_{общ} = t_{по} + t_{против} = \frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5}$ ч.

Теперь рассмотрим вторую часть условия. Время, которое понадобилось бы катеру, чтобы пройти 80 км в стоячей воде, равно:

$T_{стоячая} = \frac{80}{x}$ ч.

По условию, на весь путь (туда и обратно) катер затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Это можно записать в виде уравнения:

$T_{общ} = 2 \cdot T_{стоячая}$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5} = 2 \cdot \frac{80}{x}$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{75(x-5) + 75(x+5)}{(x+5)(x-5)} = \frac{160}{x}$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$\frac{75x - 375 + 75x + 375}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$

Упростим числитель:

$\frac{150x}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$: $x \neq 0$, $x \neq 5$, $x \neq -5$. Так как скорость не может быть отрицательной и катер должен двигаться против течения, то $x > 5$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$150x \cdot x = 160 \cdot (x^2 - 25)$

$150x^2 = 160x^2 - 160 \cdot 25$

$150x^2 = 160x^2 - 4000$

Перенесем все члены с $x^2$ в одну сторону:

$160x^2 - 150x^2 = 4000$

$10x^2 = 4000$

$x^2 = \frac{4000}{10}$

$x^2 = 400$

Найдем $x$, извлекая квадратный корень:

$x = \sqrt{400}$

$x_1 = 20$ и $x_2 = -20$.

Корень $x = -20$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x=20$ удовлетворяет ОДЗ ($20 > 5$).

Следовательно, скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.